Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.
Пересечение A{displaystyle A} и B{displaystyle B}
и B{displaystyle B}
Содержание
Определение
Пусть даны два множества A{displaystyle A}
и B{displaystyle B} . Тогда их пересечением называется множество
- A∩B={x∣x∈A∧x∈B}.{displaystyle Acap B={xmid xin Awedge xin B}.}
Замечание
Гораздо реже используется обозначение AB{displaystyle AB}
.
.Свойства
- Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X{displaystyle 2^{X}} ;
- Операция пересечения множеств коммутативна:
- A∩B=B∩A;{displaystyle Acap B=Bcap A;}
- Операция пересечения множеств ассоциативна:
- (A∩B)∩C=A∩(B∩C);{displaystyle (Acap B)cap C=Acap (Bcap C);}
- Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:[1]
- (⋃kAk)∩B=⋃k(Ak∩B){displaystyle left(bigcup _{k}A_{k}right)cap B=bigcup _{k}left(A_{k}cap Bright)}
- Универсальное множество U{displaystyle U} является нейтральным элементом операции пересечения множеств:
- A∩U=A;{displaystyle Acap U=A;}
- Операция пересечения множеств идемпотентна:
- A∩A=A;{displaystyle Acap A=A;}
- Если ∅{displaystyle varnothing } — пустое множество, то
- A∩∅=∅.{displaystyle Acap varnothing =varnothing .}
;
является 
— 
Пример
Пусть A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}.{displaystyle A={1,;2,;3,;4},;B={3,;4,;5,;6}.}
Тогда
Тогда- A∩B={3,4}.{displaystyle Acap B={3,;4}.}
Примечания
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
