wiki

Пересечение множеств

Разделы:

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Пересечение A{displaystyle A} $A$ и B{displaystyle B} $B$

Table of Contents

Содержание

1 Определение
2 Замечание
3 Свойства
4 Пример
5 Примечания
6 См. также

Определение

Пусть даны два множества A{displaystyle A}

$A$ и B{displaystyle B} $B$ . Тогда их пересечением называется множество

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}.{displaystyle Acap B={xmid xin Awedge xin B}.}

{displaystyle Acap B={xmid xin Awedge xin B}.}

Замечание

Гораздо реже используется обозначение AB{displaystyle AB}

$AB$ .

Свойства

Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X{displaystyle 2^{X}} $2^{X}$ ;
Операция пересечения множеств коммутативна:

A∩B=B∩A;{displaystyle Acap B=Bcap A;} ${displaystyle Acap B=Bcap A;}$
Операция пересечения множеств ассоциативна:

(A∩B)∩C=A∩(B∩C);{displaystyle (Acap B)cap C=Acap (Bcap C);} ${displaystyle (Acap B)cap C=Acap (Bcap C);}$
Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:[1]

(⋃kAk)∩B=⋃k(Ak∩B){displaystyle left(bigcup _{k}A_{k}right)cap B=bigcup _{k}left(A_{k}cap Bright)} ${displaystyle left(bigcup _{k}A_{k}right)cap B=bigcup _{k}left(A_{k}cap Bright)}$
Универсальное множество U{displaystyle U} $U$ является нейтральным элементом операции пересечения множеств:

A∩U=A;{displaystyle Acap U=A;} ${displaystyle Acap U=A;}$
Операция пересечения множеств идемпотентна:

A∩A=A;{displaystyle Acap A=A;} ${displaystyle Acap A=A;}$
Если ∅{displaystyle varnothing } $varnothing$ — пустое множество, то

A∩∅=∅.{displaystyle Acap varnothing =varnothing .} ${displaystyle Acap varnothing =varnothing .}$