Переменная величина

Переме́нная — в элементарной математике это численное выражение какой-либо изменяющейся физической характеристики. Например, пусть мы зададим переменную $x$ , которая будет выражать количество пчёл $\divideontimes$ в улье $\boxplus$ в 3 часа ночи. Пусть сегодня ночью в улье 120 пчёл, тогда данное физическое состояние улья $\boxplus$ равносильно математической записи: $x=120$ . Конечно значения переменной $x$ от ночи к ночи могут изменятся (сегодня в улье $x=120$ пчёл, а завтра ночью может быть $x=109$ ), но изменение это будет в пределе от 0 до $\infty$ , то есть $x\in [0;\infty )$ , (ведь не может в улье быть отрицательное количество пчёл $\divideontimes$ ).

Если же подходить к определению более строго, то переменная величина $x$ - это функция, которая присваивает объектам физического мира их численные (математические) значения. Исходя из этого определения, переменная $x$ должна бы выписываться полностью в функциональном виде - $x()$ . Но, в отличии от обычной функции $f(y)$ , где аргумент $y$ является математическим объектом, в функциональной записи переменной $x()$ аргументами должны служить не математические объекты, а объекты физического мира, например:

$x({\boxplus })$ - для случая подсчёта пчёл в улье $\boxplus$ , где знак $\boxplus$ не является ни числом, ни матрицей, ни вектором и т.д., а является ульем - то есть физической сущностью.
$x(\divideontimes )$ - для случая измерения скорости полёта пчелы $\divideontimes$ .

Таким образом функция $x$ описывает закон (или правило) по которому физическая сущность (улей $\boxplus$ , пчела $\divideontimes$ и другие объекты в реальном мире) сопоставляется с математической сущностью - число $120$ (количество пчёл в улье) или число $3$ (скорость полёта пчелы в км\ч).

Но постоянно писать скобки $x()$ и притом почти никогда их не использовать - утомительно, поэтому как и в случае случайно величины $X()$ , функциональную запись сокращают до простого $x$ (в случае обычной переменной) и $X$ (в случае "случайной переменной" или по-другому - "случайной величины").

Обычная переменная $x$ характеризуется только множеством значений, которые она может принимать^[1]. Случайная переменная (величина) $X$ , кроме области значения, ещё должна дополнительно обладать распределением.

Истоки обозначения неизвестного x

В 11-12ых веках в Испании возник большой интерес к математическим арабским текстам. Тогда же испанцы столкнулись с некоторыми проблемами в процессе перевода этих текстов. Дело в том, что в арабском языке есть несколько звуков, которые отсутствуют в испанском языке. В испанском языке нет звука "ш", а буква ش "шин" (похожа на русский звук "ш") является первой буквой в слове شيء, которое переводится на русский языка как "что-то", "нечто", на английский переводится как "а thing" и произносится - "шэй". К слову شيء можно добавить определённый артикль ال ("ал") и получить الشيء "альшалан" или в переводе на русский - "то самое нечто", а в английском языке - "the thing".

Слово الشيء встречалось очень часто в арабских текстах по математике и перед испанцами встал вопрос как же перевести его на свой язык, не имея при этом возможности выразить его звучание через латинский алфавит. Для этого они решили по умолчанию использовать букву 𝛘 или Хи, которую они взяли из классического греческого языка и которая тогда произносилась как "/kʰ/" или русский звук "к". Позже, когда испанские переводные материалы были переведены на латинский язык, греческая буква 𝛘 "кай" была заменена на латинскую букву х "икс".^[2]

Переменные в математике

В математике переменной может быть как реальная физическая величина, так и некая абстрактная величина, не отражающая процессов реального мира.

В математическом анализе и большинстве смежных разделов математики под переменной $x$ понимают каждый элемент некоторого множества, состоящего, например, из вещественных чисел. Фиксированный элемент этого множества — число называется значением переменной. Само множество называется областью изменения переменной.

Задание области изменения переменной эквивалентно заданию самой переменной.

Переменные обозначаются малыми буквами латинского или греческого алфавита (возможно, с индексами): $x,~y,~\varepsilon$ .
Области изменения соответствующих переменных обозначаются обычно теми же символами, взятыми в фигурные скобки: $\left\{x\right\},~\left\{y\right\},~\left\{\varepsilon \right\}$ .

При моделировании процессов переменные необходимо отличать от параметров, несмотря на то, что переменная в одном контексте может быть параметром в другом.

В прикладной статистике переменная — оценочный фактор или характеристика, индивидуальный или системный атрибут, изменение которых ожидается с течением времени или между отдельными лицами, например переменная возраст.

Переменная и неизвестное

Нужно отметить, что аналогично переменным обозначаются неизвестные в уравнениях, неравенствах и других подобных задачах, например в уравнении $2x=6$ , где буквой $x$ обозначено неизвестное, а не переменная, хотя эти понятия весьма схожи и зависят от контекста.

Суть различия между этими понятиями можно пояснить так.

Запись $2x=6$ можно, с одной стороны, трактовать как утверждение о возможности найти значение неизвестного $x$ . В этом случае $x$ — обозначение неизвестного числа.

С другой стороны запись $2x=6$ можно трактовать как предикат, принимающий значение «истина» при одних значениях $x$ , и значение «ложь» при других. В этом случае $x$ — переменная. На её место в выражении могут подставляться различные значения с целью определения логического (булева) значения записанного предиката.

Философское значение

С точки зрения диалектического материализма, с введением переменной в математику вошел диалектический метод исследования

Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление.^[3]

Переменные в программировании

В программировании переменная — это идентификатор, определяющий данные. Обычно это имя, скрывающее за собой область памяти, куда могут помещаться данные, хранящиеся в другой области памяти. Переменная может иметь тип значений, которые она может принимать. В программировании, переменные, как правило, обозначаются одним или несколькими словами или символами, такими, как «time», «x», «foo».

Такое понятие переменной в некотором смысле схоже с математическим. Математики в XVII веке уже использовали переменную, чтобы «забронировать» в формуле место, на которое можно подставлять конкретные значения. Буквенные обозначения резервируют и именуют области этой памяти. Если формула в математике является алгоритмом вычисления, то понятие переменной совпадает с понятием переменной в программировании.

Если формула используется только для выражения отношения между элементами множеств, то нет необходимости в понятии переменных как ячеек памяти.

Переменные в физике

В физике переменная — это некоторый атрибут модели реального физического процесса, принимающий количественные значения, физическая величина. Множество значений, которые может принимать конкретная переменная, определяется из физических соображений. Физические переменные связаны друг с другом физическими законами, на основе которых строятся математические модели различной степени сложности. Переменные в физике, как правило, характеризуются размерными значениями.

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
↑ Тэрри Мур. Why is 'x' the unknown? (неопр.) TED. TED Talk (2012).
↑ Энгельс Ф. Диалектика природы // Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч. - Т. 20. - С. 573

[ilyin-1] В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

[2] Тэрри Мур. Why is 'x' the unknown? (неопр.) TED. TED Talk (2012).

[3] Энгельс Ф. Диалектика природы // Маркс К., Энгельс Ф. Собр. соч. - Т. 20. - С. 573

[1]

[2]

[3]