Парабола

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

${\displaystyle \textstyle y^{2}=2px,p>0}$  (или ${\displaystyle \textstyle x^{2}=2py}$ , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы^[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\displaystyle {\frac {p}{2}}}$  от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  при ${\displaystyle a\neq 0}$  также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ${\displaystyle y=ax^{2},}$  но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

${\displaystyle x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a}},}$  где ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$  — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  может быть представлено в виде ${\displaystyle y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},}$  а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом ${\displaystyle p={\frac {1}{|2a|}}.}$ 

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.}$ 

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант ${\displaystyle B^{2}-4AC}$  равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат ${\displaystyle (\rho ,\vartheta )}$  с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

${\displaystyle \rho (1+\cos \vartheta )=p,}$ 

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$  известны координаты трёх различных точек параболы ${\displaystyle (x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),}$  то его коэффициенты могут быть найдены так:

${\displaystyle a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.}$ 

Если же заданы вершина ${\displaystyle (x_{0};y_{0})}$  и старший коэффициент ${\displaystyle a}$ , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

${\displaystyle b=-2ax_{0}}$ 

${\displaystyle c=ax_{0}^{2}+y_{0}}$ 

${\displaystyle x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}}$ 

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия^[2].

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Парабола есть Синусоидальная спираль при ${\displaystyle \textstyle n=-{\frac {1}{2}}}$ ;

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

•  

  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)

•  

  Падение баскетбольного мяча

•  

  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США

•  

  Параболические траектории струй воды

•  

  Вращающийся сосуд с жидкостью

•  

  Парабола — антиподера прямой

• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• А. А. Акопян, А. В. Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе