wiki

Отрезок

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.

Line Segment jaredwf.svg

Содержание

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки A{displaystyle ;A}

  и B{displaystyle ;B}  (которые называются концами отрезка), обозначается символом AB{displaystyle AB} . Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают |AB|{displaystyle |AB|} .

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{displaystyle AB}

  и BA{displaystyle BA}  представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{displaystyle AB}  и BA{displaystyle BA}  не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывае
тся особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x} {displaystyle {x}~}

 , удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{displaystyle aleq xleq b} , где заранее заданные вещественные числа a {displaystyle a~}  и b {displaystyle b~}  (a<b) {displaystyle (a<b)~}  называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x {displaystyle x~} , удовлетворяющие неравенству a<x<b {displaystyle a<x<b~} , называются внутренними точками отрезка[1].

Отрезок обычно обозначается концевыми числами:

[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{displaystyle [a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}} .

Любой отрезок, как подмножество {x} {displaystyle {x}~}

  вещественных чисел, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b−a{displaystyle b-a,}

  называется длиной числового отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{displaystyle {[a,b]|a,bin mathbb {R} land a<b}}

 .

Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

 . Подразумевается, что каждому натуральному числу  n{displaystyle ~n}  поставлен в соответствие отрезок  [an,bn]{displaystyle ~[a_{n},b_{n}]} .

Система сегментов {[an
,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

  называется стягивающейся, если[2]

  • каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
    ∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{displaystyle forall nin mathbb {N} colon [a_{n+1},b_{n+1}]subseteq [a_{n},b_{n}]} 
  • соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
    limn→∞(bn−an)=0{displaystyle lim _{nto infty }(b_{n}-a_{n})=0} 

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{displaystyle forall {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }~exists !cin mathbb {R} ~forall nin Ncolon cin [a_{n},b_{n}]} 

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

Примечания

  1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  2. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также

Читайте также