Отрезок

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки ${\displaystyle \;A}$  и ${\displaystyle \;B}$  (которые называются концами отрезка), обозначается символом ${\displaystyle AB}$ . Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают ${\displaystyle |AB|}$ .

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle BA}$  представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки ${\displaystyle AB}$  и ${\displaystyle BA}$  не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел ${\displaystyle \{x\}~}$ , удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ , где заранее заданные вещественные числа ${\displaystyle a~}$  и ${\displaystyle b~}$  ${\displaystyle (a<b)~}$  называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа ${\displaystyle x~}$ , удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle a<x<b~}$ , называются внутренними точками отрезка^[1].

Отрезок обычно обозначается концевыми числами:

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}}$ .

Любой отрезок, как подмножество ${\displaystyle \{x\}~}$  вещественных чисел, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число ${\displaystyle b-a\,}$  называется длиной числового отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$ .

Система сегментов обозначается ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу ${\displaystyle ~n}$  поставлен в соответствие отрезок ${\displaystyle ~[a_{n},b_{n}]}$ .

Система сегментов ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$  называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$ 

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$ 

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}$ 

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая