Отрезок

Разделы:

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.

Содержание

1 Отрезок в геометрии
- 1.1 Направленный отрезок
2 Отрезок числовой прямой
- 2.1 Стягивающаяся система сегментов
3 Примечания
4 См. также

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки A{displaystyle ;A}

$;A$ и B{displaystyle ;B} $;B$ (которые называются концами отрезка), обозначается символом AB{displaystyle AB} $AB$ . Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают |AB|{displaystyle |AB|} $|AB|$ .

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки AB{displaystyle AB}

$AB$ и BA{displaystyle BA} $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки AB{displaystyle AB} $AB$ и BA{displaystyle BA} $BA$ не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывае
тся особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел {x} {displaystyle {x}~}

${x}~$ , удовлетворяющих неравенству a≤x≤b{displaystyle aleq xleq b} $aleq xleq b$ , где заранее заданные вещественные числа a {displaystyle a~} $a~$ и b {displaystyle b~} $b~$ (a<b) {displaystyle (a<b)~} $(a<b)~$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа x {displaystyle x~} $x~$ , удовлетворяющие неравенству a<x<b {displaystyle a<x<b~} $a<x<b~$ , называются внутренними точками отрезка[1].

Отрезок обычно обозначается концевыми числами:

[a,b]={x∈R∣a≤x≤b}{displaystyle [a,b]={xin mathbb {R} mid aleq xleq b}}

[a,b]={xin {mathbb {R}}mid aleq xleq b}

Любой отрезок, как подмножество {x} {displaystyle {x}~}

${x}~$ вещественных чисел, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число b−a{displaystyle b-a,}

$b-a,$ называется длиной числового отрезка [a,b]{displaystyle [a,b]} $[a,b]$ .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой {[a,b]|a,b∈R∧a<b}{displaystyle {[a,b]|a,bin mathbb {R} land a<b}}

${[a,b]|a,bin mathbb{R} land a<b}$ .

Система сегментов обозначается {[an,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

${[a_{n},b_{n}]}_{{n=1}}^{{infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу n{displaystyle ~n} $~n$ поставлен в соответствие отрезок [an,bn]{displaystyle ~[a_{n},b_{n}]} $~[a_{n},b_{n}]$ .

Система сегментов {[an
,bn]}n=1∞{displaystyle {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }}

${[a_{n},b_{n}]}_{{n=1}}^{{infty }}$ называется стягивающейся, если[2]

каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

∀n∈N:[an+1,bn+1]⊆[an,bn]{displaystyle forall nin mathbb {N} colon [a_{n+1},b_{n+1}]subseteq [a_{n},b_{n}]} $forall nin mathbb{N} colon [a_{{n+1}},b_{{n+1}}]subseteq [a_{n},b_{n}]$
соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

limn→∞(bn−an)=0{displaystyle lim _{nto infty }(b_{n}-a_{n})=0} $lim _{{nto infty }}(b_{n}-a_{n})=0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

∀{[an,bn]}n=1∞ ∃!c∈R ∀n∈N:c∈[an,bn]{displaystyle forall {[a_{n},b_{n}]}_{n=1}^{infty }~exists !cin mathbb {R} ~forall nin Ncolon cin [a_{n},b_{n}]}

forall {[a_{n},b_{n}]}_{{n=1}}^{{infty }}~exists !cin mathbb{R} ~forall nin Ncolon cin [a_{n},b_{n}]

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.