Отрезок

Отрезком может называться одно из двух близких понятий в геометрии и математическом анализе.

Line Segment jaredwf.svg

Отрезок в геометрии

Отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. При этом сама точка в геометрии является абстрактным объектом, не имеющим никаких измеряемых характеристик. Отрезок прямой, соединяющий две точки   и   (которые называются концами отрезка), обозначается символом  . Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают  .

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки   и   представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки   и   не совпадают. Особого обозначения у направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Отрезок числовой прямой

Отрезок числовой (координатной) прямой (числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел  , удовлетворяющих неравенству  , где заранее заданные вещественные числа   и     называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа  , удовлетворяющие неравенству  , называются внутренними точками отрезка[1].

Отрезок обычно обозначается концевыми числами:

 .

Любой отрезок, как подмножество   вещественных чисел, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число   называется длиной числового отрезка  .

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой  .

Система сегментов обозначается  . Подразумевается, что каждому натуральному числу   поставлен в соответствие отрезок  .

Система сегментов   называется стягивающейся, если[2]

  • каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;
     
  • соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.
     

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

 

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.

Примечания

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 53. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
  2. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также