В теории динамических систем, разделе математики, отображение Пуанкаре (также отображение последования, отображение первого возвращения) — это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы.
Отображение Пуанкаре трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку
Рассмотрим некоторый участок поверхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль). Из точки x{displaystyle x} на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через y{displaystyle y}. Отображение Пуанкаре точке x{displaystyle x} ставит в соответствие точку первого возвращения y{displaystyle y}. Если траектория, выпущенная из x{displaystyle x}, никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено.
на трансверсали выпустим траекторию системы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через y{displaystyle y}
. Отображение Пуанкаре точке x{displaystyle x}Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.
Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений — с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем.
См. также
Ссылки
- Каток А. Б., Хассельблат Б.[de]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.
| Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую. |
