Ортодромия

Ортодромия, ортодрома (из др.-греч. ὀρθός «прямой» + δρόμος «бег, путь») — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения. В картографии и навигации — название геодезической линии кратчайшего расстояния между двумя точками на поверхности земного шара, наименьший из отрезков дуги большого круга, проходящей через эти точки. В отличие от локсодромии ортодромия пересекает меридианы под разными углами. В судо- и самолётовождении, где Земля принимается за шар, ортодромия представляет собой дугу большого круга.

Экватор и меридианы являются частными случаями ортодромии. Через две точки на земной поверхности, расположенные не на противоположных концах одного диаметра Земли, можно провести только одну ортодромию.

В большинстве картографических проекций ортодромии изображаются кривыми линиями (за исключением, быть может, меридианов и экватора). Это неудобно для прокладки кратчайших маршрутов. В гномонической проекции все ортодромии изображены прямыми линиями.

Параллели (за исключением экватора) не являются ортодромиями.

Расчёт ортодромии

Длина, начальный и конечный азимуты, широты промежуточных точек ортодромии рассчитываются по следующим формулам.

Длина ортодромии: D= 111,12 * acos(sin2φ1 * sin2φ2) + (cos2φ1 * cos2φ2 * cos(λ2 - λ1)).

Начальный азимут: ctgα1 = cosφ1 tgφ2 / sin(λ2 - λ1) - sinφ1 / tg(λ2 - λ1).

Конечный азимут: ctgα2 = sinφ2 / tg(λ2 - λ1) - cosφ2 tgφ1 / sin(λ2 - λ1).

Широта промежуточной точки: φ = arctg((tgφ1 * sin(λ2 - λ)/sin(λ2 - λ1)) + (tgφ2 * sin(λ - λ1) / sin(λ2 - λ1)).

Обозначения: D - длина ортодромии, φ1 - широта точки отбытия, λ1 - долгота точки отбытия, φ2 - широта точки прибытия, λ2 - долгота точки прибытия, φ - широта промежуточной точки, λ - долгота произвольно взятой промежуточной точки ортодромии, 111,12 - длина дуги 1° меридиана (может быть выбрана иная величина).

Для примера возьмём перелёт из Внукова (координаты: 55°35′46″ с. ш., 37°16′03″в. д.) в Пулково (координаты: 59°48′01″ с. ш., 30°15′45″в. д.).

В десятичном выражении координаты точек отбытия и прибытия выглядят так: 55,596111, 37,2675 и 59,8002778, 30,2625. Длина дуги 1° меридиана - 111,3 км.

Находим длину ортодромии: sin55,596111 * sin59,8002778 + cos55,596111 * cos55,8002778 * cos(30,2625 - 37,2675) = 0,825075 * 0,864277 + 0,565023 * 0,5030158 * 0,9925355 = 0,71309335 + 0,282094 = 0,99518735. acos0,99518735 = 5,62346633. 5,62346633 * 111,3 = 625,892 км.

Находим начальный азимут: cos55,596111 tg59,8002778 / sin(30,2625 - 37,2675) - sin55,596111 / tg(30,2625 - 37,2675) = 0,565023 * 1,7181812 / (-0,121956)- 0,825075 / (-0,122873) = -7,9603455 + 6,71486 = -1,2454855. -1,2454855-1 = -0,80289975. tg(-0,80289975) = -38,761° = 321,239°.

Находим конечный азимут: sin59,8002778 / tg(30,2625 - 37,2675) - cos59,8002778 * tg55,596111 / sin(30,2625 - 37,2675) = 0,864277 / (-0,122873) - 0,5030158 * 1,4602505 / (-0,121956) = -7,033905 - (-6,024605) = -1,0093. -1,0093-1 = -0,990786. atg(-0,990786) = -44,73481 = 315,2652° или 315°15′55″.

В геометрии

В геометрии ортодромия — кратчайшая линия между двумя точками на поверхности вращения.

См. также

Ссылки