Определитель Грама

  • Разделы:

    Определителем Грама системы векторов e1,…,en{displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} в евклидовом пространстве называется следующий определитель:

    |(e1,e1)(e1,e2)…(e1,en)(e2,e1)(e2,e2)…(e2,en)…………(en,e1)(en,e2)…(en,en)|{displaystyle {begin{vmatrix}(e_{1},e_{1})&(e_{1},e_{2})&ldots &(e_{1},e_{n})\(e_{2},e_{1})&(e_{2},e_{2})&ldots &(e_{2},e_{n})\ldots &ldots &ldots &ldots \(e_{n},e_{1})&(e_{n},e_{2})&ldots &(e_{n},e_{n})\end{vmatrix}}}, где (ei,ej){displaystyle (e_{i},e_{j})}скалярное произведение векторов ei{displaystyle e_{i}} и ej{displaystyle e_{j}}.

    Имеет место следующая теорема:

    • Система векторов евклидова пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.
    • Если система линейно независима, то определитель Грама положителен.

    Геометрический смысл определителя Грама

    • Определитель, составленный из одного вектора, равен скалярному квадрату данного вектора.
    • Определитель, составленный из двух векторов, равен квадрату модуля векторного произведения данных векторов
    • Определитель, составленный из трёх векторов, равен квадрату смешанного произведения данных векторов
    • Определитель, составленный из четырёх и более векторов, всегда равен нулю.