Определитель Грама

Определителем Грама системы векторов ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ в евклидовом пространстве называется следующий определитель:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}(e_{1},e_{1})&(e_{1},e_{2})&\ldots &(e_{1},e_{n})\\(e_{2},e_{1})&(e_{2},e_{2})&\ldots &(e_{2},e_{n})\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\(e_{n},e_{1})&(e_{n},e_{2})&\ldots &(e_{n},e_{n})\\\end{vmatrix}}}$, где ${\displaystyle (e_{i},e_{j})}$ — скалярное произведение векторов ${\displaystyle e_{i}}$ и ${\displaystyle e_{j}}$.

Имеет место следующая теорема:

• Система векторов евклидова пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама этой системы равен нулю.

• Если система линейно независима, то определитель Грама положителен.