Описанная окружность

Разделы:

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O{displaystyle O} $O$ ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Содержание

1 Свойства
2 Теоремы, связанные с описанной окружностью
3 Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками
4 Определения к последней теореме
5 Вариации по теме
- 5.1 Для четырехугольника
6 Для вписано-описанного четырехугольника
7 См. также
8 Примечания
9 Ссылки

Свойства

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если около n-угольника описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
Вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.

Уравнения окружности

Уравнение описанной окружности можно выразить через декартовы координаты вершин вписанного в неё треугольника. Предположим, что

A=(Ax,Ay){displaystyle mathbf {A} =(A_{x},A_{y})}

{displaystyle mathbf {A} =(A_{x},A_{y})}

B=(Bx,By){displaystyle mathbf {B} =(B_{x},B_{y})}

{displaystyle mathbf {B} =(B_{x},B_{y})}

C=(Cx,Cy){displaystyle mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}

{displaystyle mathbf {C} =(C_{x},C_{y})}

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность — геометрическое место точек v = (vx,vy), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

|v−u|2=r2{displaystyle |mathbf {v} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

{displaystyle |mathbf {v} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

|A−u|2=r2{displaystyle |mathbf {A} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

{displaystyle |mathbf {A} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

|B−u|2=r2{displaystyle |mathbf {B} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

{displaystyle |mathbf {B} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

|C−u|2=r2{displaystyle |mathbf {C} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

{displaystyle |mathbf {C} -mathbf {u} |^{2}=r^{2}}

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к условию, что линейное отображение, задаваемое матрицей

[|v|2−2vx−2vy−1|A|2−2Ax−2Ay−1|B|2−2Bx−2By−1|C|2−2Cx−2Cy−1]{displaystyle {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\|mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\|mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\|mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1end{bmatrix}}}

{displaystyle {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\|mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\|mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\|mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1end{bmatrix}}}

имеет ненулевое ядро. Таким образом, описанная окружность может быть описана как множество нулей определителя этой матрицы:

det[|v|2vxvy1|A|2AxAy1|B|2BxBy1|C|2CxCy1]=0.{displaystyle det {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\|mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{
2}&B_{x}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}}=0.}

{displaystyle det {begin{bmatrix}|mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\|mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}}=0.}

Раскладывая этот определитель по первой строке и вводя обозначения

Sx=12det[|A|2Ay1|B|2By1|C|2Cy1],Sy=12det[Ax|A|21Bx|B|21Cx|C|21],{displaystyle quad S_{x}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}|mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad S_{y}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}A_{x}&|mathbf {A} |^{2}&1\B_{x}&|mathbf {B} |^{2}&1\C_{x}&|mathbf {C} |^{2}&1end{bmatrix}},}

{displaystyle quad S_{x}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}|mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\|mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\|mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad S_{y}={frac {1}{2}}det {begin{bmatrix}A_{x}&|mathbf {A} |^{2}&1\B_{x}&|mathbf {B} |^{2}&1\C_{x}&|mathbf {C} |^{2}&1end{bmatrix}},}

a=det[AxAy1BxBy1CxCy1],b=det[AxAy|A|2BxBy|B|2CxCy|C|2]{displaystyle a=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\B_{x}&B_{y}&1\C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad b=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|mathbf {A} |^{2}\B_{x}&B_{y}&|mathbf {B} |^{2}\C_{x}&C_{y}&|mathbf {C} |^{2}end{bmatrix}}}

{displaystyle a=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\B_{x}&B_{y}&1\C_{x}&C_{y}&1end{bmatrix}},quad b=det {begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|mathbf {A} |^{2}\B_{x}&B_{y}&|mathbf {B} |^{2}\C_{x}&C_{y}&|mathbf {C} |^{2}end{bmatrix}}}

мы приводим уравнение окружности к виду a|v|2 − 2Sv − b = 0,или, предполагая, что точки A, B, C не лежали на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщенная окружность с центром S на бесконечности), |v − S/a|2 = b/a + |S|2/a2,выражая центр окружности как S / а и её радиус как √(b/a + |S|2/a2). Сходный подход позволяет вывести уравнение сферы, описанной вокруг тетраэдра.

Параметрическое уравнение

Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг дается в виде

n^=(P2−P1)×(P3−P1)|(P2−P1)×(P3−P1)|.{displaystyle {hat {n}}={frac {left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)}{left|left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)right|}}.}

{displaystyle {hat {n}}={frac {left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)}{left|left(P_{2}-P_{1}right)times left(P_{3}-P_{1}right)right|}}.}

Следовательно, с учетом радиуса r с центром Pc, точка на окружности P0 единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: n^{displaystyle scriptstyle {hat {n}}}

${displaystyle scriptstyle {hat {n}}}$ , однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P0 и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле n^{displaystyle scriptstyle {hat {n}}} ${displaystyle scriptstyle {hat {n}}}$ имеет вид:

R(s)=Pc+cos⁡(sr)(P0−Pc)+sin⁡(sr)[n^×(P0−Pc)].{displaystyle mathrm {R} left(sright)=mathrm {P_{c}} +cos left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left(P_{0}-P_{c}right)+sin left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left[{hat {n}}times left(P_{0}-P_{c}right)right].}

{displaystyle mathrm {R} left(sright)=mathrm {P_{c}} +cos left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left(P_{0}-P_{c}right)+sin left({frac {mathrm {s} }{mathrm {r} }}right)left[{hat {n}}times left(P_{0}-P_{c}right)right].}

Трилинейные и барицентрические координаты окружности

Уравнение окружности в трилинейных координатах x : y : z есть[1]:p. 199a/x + b/y + c/z = 0. Уравнение окружности в барицентрических координатах есть x : y : z is a2/x + b2/y + c2/z = 0.Изогональное сопряжение окружности есть бесконечно удаленная прямая, записываемая в трилинейных координатах в виде ax + by + cz = 0 и в барицентрических координатах в виде x + y + z = 0.

Координаты окружности центра

Декартовы координаты центра

Декартовы координаты центра описанной окружности есть

Ux=[(Ax2+Ay2)(By−Cy)+(Bx2+By2)(Cy−Ay)+(Cx2+Cy2)(Ay−By)]/D,{displaystyle U_{x}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})right]/D,}

{displaystyle U_{x}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})right]/D,}

Uy=[(Ax2+Ay2)(Cx−Bx)+(Bx2+By2)(Ax−Cx)+(Cx2+Cy2)(Bx−Ax)]/D{displaystyle U_{y}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})right]/D}

{displaystyle U_{y}=left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})right]/D}

где

D=2[Ax(By−Cy)+Bx(Cy−Ay)+Cx(Ay−By)].{displaystyle D=2left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})right].}

{displaystyle D=2left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})right].}

Без ограничения общности это можно выразить в упрощенном виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когдаA′ = A − A = (A′x,A′y) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = B − A и C′ = C − A представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам.Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника A′B′C′ в следующем виде:

[Cy′(Bx′2+By′2)−By′(Cx′2+Cy′2)]/D′,{displaystyle left[C’_{y}(B_{x}^{‘2}+B_{y}^{‘2})-B’_{y}(C_{x}^{‘2}+C_{y}^{‘2})right]/D’,}

{displaystyle left[C'_{y}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})-B'_{y}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})right]/D',}

[Bx′(Cx′2+Cy′2)−Cx′(Bx′2+By′2)]/D′{displaystyle left[B’_{x}(C_{x}^{‘2}+C_{y}^{‘2})-C’_{x}(B_{x}^{‘2}+B_{y}^{‘2})right]/D’}

{displaystyle left[B'_{x}(C_{x}^{'2}+C_{y}^{'2})-C'_{x}(B_{x}^{'2}+B_{y}^{'2})right]/D'}

где

D′=2(Bx′Cy′−By′Cx′).{displaystyle D’=2(B’_{x}C’_{y}-B’_{y}C’_{x}).}

{displaystyle D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).}

Трилинейные координаты центра

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты [1]:p.19

cos α : cos β : cos γ,

где α, β, γ внутренние углы треугольника.В терминах сторон треугольника a, b, c трилинейные координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

a(b2+c2−a2):b(c2+a2−b2):c(a2+b2−c2).{displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}

{displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}

Барицентрические координаты центра

Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид

a2(b2+c2−a2):b2(c2+a2−b2):c2(a2+b2−c2),{displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}

{displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}):;b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}):;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}),}

[3],

где a, b, c длины сторон (BC, CA, AB соответственно) треугольника.В терминах углов треугольника α,β,γ,{displaystyle alpha ,beta ,gamma ,}

${displaystyle alpha ,beta ,gamma ,}$ барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид[2]

sin⁡2α:sin⁡2β:sin⁡2γ.{displaystyle sin 2alpha :sin 2beta :sin 2gamma .}

{displaystyle sin 2alpha :sin 2beta :sin 2gamma .}

Вектор центра описанной окружности

Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде

U=a2(b2+c2−a2)A+b2(c2+a2−b2)B+c2(a2+b2−c2)Ca2(b2+c2−a2)+b2(c2+a2−b2)+c2(a2+b2−c2).{displaystyle U={frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.}

{displaystyle U={frac {a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})A+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})B+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})C}{a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}}.}

Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S 2, где S — площадь треугольника.

Для треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров или медиатрис.

Углы

Равные углы у вписанного треугольника

На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.

Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC

В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами.Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:

Точка Штейнера = bc / (b2 − c2) : ca / (c2 − a2) : ab / (a2 − b2) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (Эллипс Штейнера с центром, расположенном в центроиде треугольника ABC представляет собой эллипс с наименьшей площадью из всех, что проходят через вершины A, B и C. Уравнение эллипса Штейнера имеет вид: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
Точка Тарри (Tarry point) = sec (A + ω) : sec (B + ω) : sec (C + ω) = диметрально противоположная точке Штейнера
Фокус параболы Киперта (Kiepert parabola) = csc (B − C) : csc (C − A) : csc (A − B). (см. рис.)

Парабола Киперта Свойства вписанной параболы

Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера [4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр [5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Теорема Лестера[6]. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

Свойства центра описанной окружности треугольника

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.

Остроугольный
Тупоугольный
Прямоугольный

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС.Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС.Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и,значит, является описанной около треугольника ABC.

Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
3 из 4 окружност
ей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Из последних двух утверждений следует то, что сумма расстояний от ортоцентра остроугольного треугольника до трех его вершин в два раза больше, чем сумма расстояний от центра описанной окружности до трех его сторон, и равна 2(R+r){displaystyle 2(R+r)} ${displaystyle 2(R+r)}$ . В тупоугольном треугольнике надо брать знак «-» в случае, если перпендикуляр из центра описанной окружности на сторону целиком лежит вне треугольника или если отрезок, проведенный из ортоцентра к вершине, целиком лежит вне треугольника. Остальные члены берутся со знаком «+».
Формула Карно. Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна R+r{displaystyle R+r} ${displaystyle R+r}$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. В частности ±DF±DG±DH=R+r,{displaystyle pm DFpm DGpm DH=R+r,} ${displaystyle pm DFpm DGpm DH=R+r,}$ при правильном выборе знаков.

Радиус

Формулы радиуса описанной окружности

R=abc4S{displaystyle R={frac {abc}{4S}}}

R={frac {abc}{4S}}

R=S2⋅sin⁡αsin⁡βsin⁡γ.{displaystyle R={sqrt {frac {S}{2cdot sin alpha sin beta sin gamma }}}.}

{displaystyle R={sqrt {frac {S}{2cdot sin alpha sin beta sin gamma }}}.}

R=a2sin⁡α=b2sin⁡β=c2sin⁡γ{displaystyle R={frac {a}{2sin alpha }}={frac {b}{2sin beta }}={frac {c}{2sin gamma }}}

R={frac {a}{2sin alpha }}={frac {b}{2sin beta }}={frac {c}{2sin gamma }}

R=abc(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)=abc4p(p−a)(p−b)(p−c){displaystyle R={frac {abc}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}={frac {abc}{4{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}

R={frac {abc}{{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}={frac {abc}{4{sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}

где:

a,b,c{displaystyle a,b,c}

a,b,c

— стороны треугольника,

α,β,γ{displaystyle alpha ,beta ,gamma }

alpha ,beta ,gamma

— углы, лежащие против сторон a,b,c{displaystyle a,b,c}

a,b,c

соответственно,

S{displaystyle S}

S

— площадь треугольника.

p{displaystyle p}

p

— полупериметр треугольника, т.е. p=a+b+c2{displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}

{displaystyle p={frac {a+b+c}{2}}}

Положение центра описанной окружности

Пусть rA,rB,rC{displaystyle {mathbf {r} }_{A},{mathbf {r} }_{B},{mathbf {r} }_{C}}

${displaystyle {mathbf {r} }_{A},{mathbf {r} }_{B},{mathbf {r} }_{C}}$ радиус-векторы вершин треугольника,rO{displaystyle mathbf {r} _{O}} ${displaystyle mathbf {r} _{O}}$ — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

rO=αArA+αBrB+αCrC{displaystyle mathbf {r} _{O}=alpha _{A}mathbf {r} _{A}+alpha _{B}mathbf {r} _{B}+alpha _{C}mathbf {r} _{C}}

{displaystyle mathbf {r} _{O}=alpha _{A}mathbf {r} _{A}+alpha _{B}mathbf {r} _{B}+alpha _{C}mathbf {r} _{C}}

где

αA=a28S2(rA−rB,rA−rC),αB=b28S2(rB−rA,rB−rC),αC=c28S2(rC−rA,rC−rB){displaystyle alpha _{A}={frac {a^{2}}{8S^{2}}}(mathbf {r} _{A}-mathbf {r} _{B},mathbf {r} _{A}-mathbf {r} _{C}),qquad alpha _{B}={frac {b^{2}}{8S^{2}}}(mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{A},mathbf {r} _{B}-mathbf {r} _{C}),qquad alpha _{C}={frac {c^{2}}{8S^{2}}}(mathbf {r} _{C}-mathbf {r} _{A},mathbf {r} _{C}-mathbf {r} _{B})}

alpha _{A}={frac {a^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{A}-{mathbf {r}}_{B},{mathbf {r}}_{A}-{mathbf {r}}_{C}),qquad alpha _{B}={frac {b^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{B}-{mathbf {r}}_{A},{mathbf {r}}_{B}-{mathbf {r}}_{C}),qquad alpha _{C}={frac {c^{2}}{8S^{2}}}({mathbf {r}}_{C}-{mathbf {r}}_{A},{mathbf {r}}_{C}-{mathbf {r}}_{B})

При этом a,b,c{displaystyle a,b,c}

$a,b,c$ — длины сторон треугольника, противоположных вершинам A,B,C{displaystyle A,B,C} $A,B,C$ .

Уравнение описанной окружности

Пусть rA=(xA,yA),rB=(xB,yB),rC=(xC,yC){displaystyle {mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}),{mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})}

${displaystyle {mathbf {r} }_{A}=(x_{A},y_{A}),{mathbf {r} }_{B}=(x_{B},y_{B}),{mathbf {r} }_{C}=(x_{C},y_{C})}$ координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости,rO=(xO,yO){displaystyle mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})} ${displaystyle mathbf {r} _{O}=(x_{O},y_{O})}$ — координаты центра описанной окружности.Тогда уравнение описанной окружности

|x2+y2xy1xA2+yA2xAyA1xB2+yB2xByB1xC2+yC2xCyC1|=0{displaystyle {begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}=0}

{begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}=0

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены

xO=1D|xA2+yA2yA1xB2+yB2yB1xC2+yC2yC1|,yO=−1D|xA2+yA2xA1xB2+yB2xB1xC2+yC2xC1|,{displaystyle x_{O}={frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1end{vmatrix}},quad y_{O}=-{frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1end{vmatrix}},}

x_{O}={frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&y_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&y_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&y_{C}&1end{vmatrix}},quad y_{O}=-{frac {1}{D}}{begin{vmatrix}x_{A}^{2}+y_{A}^{2}&x_{A}&1\x_{B}^{2}+y_{B}^{2}&x_{B}&1\x_{C}^{2}+y_{C}^{2}&x_{C}&1end{vmatrix}},

где

D=2|xAyA1xByB1xCyC1|{displaystyle D=2{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}}

D=2{begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\x_{B}&y_{B}&1\x_{C}&y_{C}&1end{vmatrix}}

В явном виде координаты центра окружности определяются по формулам:

xO=−12yA(xB2+yB2−xC2−yC2)+yB(xC2+yC2−xA2−yA2)+yC(xA2+yA2−xB2−yB2)xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB){displaystyle x_{O}=-{frac {1}{2}}{frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+y_{C}(x_{
A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}

{displaystyle x_{O}=-{frac {1}{2}}{frac {y_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+y_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+y_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}

yO=12xA(xB2+yB2−xC2−yC2)+xB(xC2+yC2−xA2−yA2)+xC(xA2+yA2−xB2−yB2)xA(yB−yC)+xB(yC−yA)+xC(yA−yB){displaystyle y_{O}={frac {1}{2}}{frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}

{displaystyle y_{O}={frac {1}{2}}{frac {x_{A}(x_{B}^{2}+y_{B}^{2}-x_{C}^{2}-y_{C}^{2})+x_{B}(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-x_{A}^{2}-y_{A}^{2})+x_{C}(x_{A}^{2}+y_{A}^{2}-x_{B}^{2}-y_{B}^{2})}{x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})}}}

Теоремы, связанные с описанной окружностью

Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D{displaystyle D} $D$ — точка пересечения биссектрисы угла A{displaystyle A} $A$ с описанной окружностью треугольника ABC{displaystyle ABC} $ABC$ , I{displaystyle I} $I$ и J{displaystyle J} $J$ — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC{displaystyle BC} $BC$ , тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|{displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|} ${displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$ .
Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC{displaystyle AC} $AC$ описанной окружности треугольника ABC{displaystyle ABC} $ABC$ , не содержащая вершину B{displaystyle B} $B$ , равноудалена от вершин A{displaystyle A} $A$ и C{displaystyle C} $C$ , центра I{displaystyle I} $I$ вписанной окружности и центра I2{displaystyle I_{2}} $I_{2}$ вневписанной окружности. Середина дуги AC{displaystyle AC} $AC$ описанной окружности треугольника ABC{displaystyle ABC} $ABC$ , содержащая вершину B{displaystyle B} $B$ , равноудалена от вершин A{displaystyle A} $A$ и C{displaystyle C} $C$ , и центров I1{displaystyle I_{1}} $I_1$ и I3{displaystyle I_{3}} $I_3$ вневписанных окружностей.
Окружностно-чевианным треугольником называют треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трех прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку P{displaystyle P} $P$ , с описанной окружностью.Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P{displaystyle P} $P$ описанной окружности треугольника ABC{displaystyle ABC} $ABC$ на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
Согласно теореме Лестера ?! центр девяти точек лежит на одной окружности (на окружности Лестера) вместе с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности [6].
Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек и другие известные точки (см. Прямая Эйлера).

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками

Формула Эйлера: Если d{displaystyle d} $d$ — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, а их радиусы равны r{displaystyle r} $r$ и R{displaystyle R} $R$ соответственно, то d2=R2−2Rr{displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr} $d^{2}=R^{2}-2Rr$ .

Или через стороны треугольника:

d=OI=Ra3−a2b−ab2+b3−a2c+3abc−b2c−bc2−ac2+c3abc{displaystyle d=OI=R{sqrt {frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}}

{displaystyle d=OI=R{sqrt {frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-bc^{2}-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}}

где R{displaystyle R}

$R$ — радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

Расстояние от центра O до ортоцентра H есть[7][8]:p. 449

OH=R2−8R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C=9R2−(a2+b2+c2).{displaystyle OH={sqrt {R^{2}-8R^{2}cos Acos Bcos C}}={sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}

{displaystyle OH={sqrt {R^{2}-8R^{2}cos Acos Bcos C}}={sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}

Для центроида G и центра девяти точек N имеем:

IG<IO,{displaystyle IG<IO,}

{displaystyle IG<IO,}

2IN<IO,{displaystyle 2IN<IO,}

{displaystyle 2IN<IO,}

OI2=2R⋅IN.{displaystyle OI^{2}=2Rcdot IN.}

{displaystyle OI^{2}=2Rcdot IN.}

Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде[9]: p. 189, #298(d):

rR=abc2(a+b+c).{displaystyle rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.

Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда[10]:p.122,#96

4R2h2(t2−h2)=t4(m2−h2).{displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}

{displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}

Центр описанной окружности изогонально сопряжен с ортоцентром.
Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[11].
В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.

Полувписанная окружность

Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком «-», когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком «+»), будет равна R+r{displaystyle R+r} ${displaystyle R+r}$ , где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей[10]:p.83.

Формула Карно: DG+DH−DF=R+r{displaystyle DG+DH-DF=R+r} ${displaystyle DG+DH-DF=R+r}$

Например для рисунка формула Карно примет вид: DG+DH−DF=R+r{displaystyle DG+DH-DF=R+r}

${displaystyle DG+DH-DF=R+r}$ .

Определения к последней теореме

Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Вариации по теме

Японская теорема (Japanese theorem)

Теорема [12]. Если во вписанном в окружность четырехугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырех образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырехугольника

Основная статья: Четырехугольники, вписанные в окружность

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (π{displaystyle pi }

$pi$ радиан).Можно описать окружность
около:

любого антипараллелограмма
любого прямоугольника (частный случай квадрат)
любой равнобедренной трапеции
любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые
любого четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[13]:

|AC|⋅|BD|=|AB|⋅|CD|+|BC|⋅|AD|.{displaystyle |AC|cdot |BD|=|AB|cdot |CD|+|BC|cdot |AD|.}

{displaystyle |AC|cdot |BD|=|AB|cdot |CD|+|BC|cdot |AD|.}

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство.[14] :

|AC||BD|=|AB|⋅|AD|+|BC|⋅|CD||AB|⋅|BC|+|CD|⋅|AD|.{displaystyle {frac {|AC|}{|BD|}}={frac {|AB|cdot |AD|+|BC|cdot |CD|}{|AB|cdot |BC|+|CD|cdot |AD|}}.}

$frac{|AC|}{|BD|} = frac{|AB|cdot |AD|+|BC|cdot |CD|}{|AB|cdot |BC|+|CD|cdot|AD| }.$

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

R=14(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)(p−a)(p−b)(p−c)(p−d){displaystyle R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}}

$R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно вычислить по формуле Брахмагупты:

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d){displaystyle S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}

S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

Та же Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель[15]:

S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{displaystyle S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}}

$S={frac {1}{4}}{sqrt {-{begin{vmatrix}a&b&c&-d\b&a&-d&c\c&-d&a&b\-d&c&b&aend{vmatrix}}}}$

Подробнее о четырехугольниках, вписанных в окружность (Cyclic quadrilateral), можно прочитать на английском языке [16]

Для вписано-описанного четырехугольника

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырехугольника

Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписано-описанного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

1(R+d)2+1(R−d)2=1r2{displaystyle {frac {1}{(R+d)^{2}}}+{frac {1}{(R-d)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}}

{frac {1}{(R+d)^{2}}}+{frac {1}{(R-d)^{2}}}={frac {1}{r^{2}}}

или

d2=R2+r2−r4R2+r2{displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}

{displaystyle d^{2}=R^{2}+r^{2}-r{sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}

Для многоугольника

Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.

Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[17] описанной окружности будет равен[18]:78,83

tg⁡R=−cos⁡Pcos⁡(P−A)cos⁡(P−B)cos⁡(P−C){displaystyle operatorname {tg} R={sqrt {frac {-cos P}{cos(P-A)cos(P-B)cos(P-C)}}}}

{displaystyle operatorname {tg} R={sqrt {frac {-cos P}{cos(P-A)cos(P-B)cos(P-C)}}}}

Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[18]:21-22.

См. также

В Викисловаре есть статья «окружность»

Примечания

↑ 1 2 Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
↑ 1 2 Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
↑ Wolfram page on bar
ycentric coordinates
↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
↑ Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
↑ 1 2 Yiu, 2010, с. 175–209.
↑ Marie-Nicole Gras, «Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers»,Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
↑ Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, «Euler and triangle geometry», Mathematical Gazette 91, November 2007, 436—452.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
↑ Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6/ http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf.
↑ Теорема Птолемея
↑ Четырёхугольники. Вписанные четырёхугольники .
↑ Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И. В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑ Cyclic quadrilateral (англ. яз.). Четырехугольники, вписанные в окружность// https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral.
↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Описанная окружность

В сносках к статье найдены неработоспособные вики-ссылки. Исправьте короткие примечания, установленные через шаблон .ts-templateCallCode-weak:first-child>.ts-templateCallCode-pipe:first-child{margin-left:0}.mw-parser-output .ts-templateCallCode-param+.ts-templateCallCode-closing{margin-left:2px}.mw-parser-output span.ts-templateCallCode>.ts-templateCallCode-templateName a{padding:0 0.5em!important;position:relative;margin:-0.5em}]]>{{sfn}} или его аналоги, в соответствии с инструкцией к шаблону, или добавьте недостающие публикации в раздел источников. Список сносок: