Операция (математика)

• Разделы:
  • Связанные определения
  • Свойства
  • Операции
  • См. также

У этого термина существуют и другие значения, см. Операция.

Операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к арифметическим или логическим действиям, в отличие от термина «оператор», который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя, имеющим замечательные свойства.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Связанные определения
• 3 Свойства
• 4 Операции
  • 4.1 Арифметические
  • 4.2 Математического анализа
  • 4.3 Логические
• 5 См. также

Определение

Операция — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств.

Связанные определения

Основная статья: Арность

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

Свойства

• Коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции «∘{displaystyle circ } », когда a∘b=b∘a{displaystyle acirc b=bcirc a} .
• Антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что a−b=−(b−a){displaystyle a-b=-(b-a)} .
• Ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции «∘{displaystyle circ } », когда (a∘b)∘c=a∘(b∘c){displaystyle (acirc b)circ c=acirc (bcirc c)} .
• Дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция сложения относительно умножения, так как (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c{displaystyle (a+b)cdot c=acdot c+bcdot c} .
• Транзитивность — операция «∘{displaystyle circ } » транзитивна, если из соотношений a∘b{displaystyle acirc b}  и b∘c{displaystyle bcirc c}  следует, что a∘c{displaystyle acirc c} .
• Идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю, ибо |x|=||x||=|||x|||=…{displaystyle |x|=||x||=|||x|||=…} .
• Аддитивность — если для функции f(x){displaystyle f(x)}  верно, что f(a+b)=f(a)+f(b){displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} , то функция аддитивна.
• Мультипликативность — если для функции f(x){displaystyle f(x)}  верно, что f(a⋅b)=f(a)⋅f(b){displaystyle f(acdot b)=f(a)cdot f(b)} , то функция мультипликативна.

Операции

Арифметические

• Сложение — бинарная операция, например 2+3=5{displaystyle 2+3=5} .
• Вычитание — обратная сложению операция, например 5−3=2{displaystyle 5-3=2} .
• Умножение — гипероперация сложения, например 2⋅3=6{displaystyle 2cdot 3=6} .
• Деление — обратная умножению операция, например 6:3=2{displaystyle 6:3=2} .
• Возведение в степень — гипероперация умножения, например 23=8{displaystyle 2^{3}=8} .
• Извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например 83=2{displaystyle {sqrt[{3}]{8}}=2} .
• Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например log2⁡8=3{displaystyle log _{2}8=3} .
• Тетрация — гипероперация возведения в степень, например 32=222=16{displaystyle ^{3}2=2^{2^{2}}=16} .
• Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и отрицание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

• Дифференцирование — нахождение производной функции, например (x2)′=2x{displaystyle (x^{2})’=2x} .
• Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной функции, например ∫2xdx=x2+C{displaystyle int 2xdx=x^{2}+C} .
• Сампирация -нахождение функции по её корням.

Логические

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

• Отрицание (¬A{displaystyle neg A} ) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
• Конъюнкция (A&B{displaystyle AAnd B} ) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
• Дизъюнкция (A∨B{displaystyle Alor B} ) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

См. также

• Исследование операций
• Гипероператор