Операция (математика)

Операция — отображение, областью определения которого является прямое произведение нескольких множеств.

Операции различаются по количеству множеств, декартово произведение которых является её областью определения. Например, операция может быть унарная, если она отображает один элемент множества на один элемент множества, или бинарная, если сопоставляет двум элементам множества один элемент.

• Коммутативность (переместительное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$ », когда ${\displaystyle a\circ b=b\circ a}$ .
• Антикоммутативность — например, операция вычитания, потому что ${\displaystyle a-b=-(b-a)}$ .
• Ассоциативность (сочетательное свойство) — свойство операции «${\displaystyle \circ }$ », когда ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$ .
• Дистрибутивность (распределительное свойство) — например, операция сложения относительно умножения, так как ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ .
• Транзитивность — операция «${\displaystyle \circ }$ » транзитивна, если из соотношений ${\displaystyle a\circ b}$  и ${\displaystyle b\circ c}$  следует, что ${\displaystyle a\circ c}$ .
• Идемпотентность — если повторная операция уже не изменяет объект, например взятие по модулю, ибо ${\displaystyle |x|=||x||=|||x|||=...}$ .
• Аддитивность — если для функции ${\displaystyle f(x)}$  верно, что ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ , то функция аддитивна.
• Мультипликативность — если для функции ${\displaystyle f(x)}$  верно, что ${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)}$ , то функция мультипликативна.

Арифметические

• Сложение — бинарная операция, например ${\displaystyle 2+3=5}$ .
• Вычитание — обратная сложению операция, например ${\displaystyle 5-3=2}$ .
• Умножение — гипероперация сложения, например ${\displaystyle 2\cdot 3=6}$ .
• Деление — обратная умножению операция, например ${\displaystyle 6:3=2}$ .
• Возведение в степень — гипероперация умножения, например ${\displaystyle 2^{3}=8}$ .
• Извлечение корня — обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}$ .
• Логарифмирование — вторая обратная возведению в степень операция, например ${\displaystyle \log _{2}8=3}$ .
• Тетрация — гипероперация возведения в степень, например ${\displaystyle ^{3}2=2^{2^{2}}=16}$ .
• Суперкорень и суперлогарифм — обратные операции тетрации.

Сложение и отрицание являются элементарными арифметическими операциями. Все остальные, более сложные операции, получаются в результате гиперопераций. Так, сложение и вычитание относят к операциям первой ступени; умножение и деление — к операциям второй ступени; возведение в степень, извлечение корня и логарифмирование — к операциям третьей ступени; тетрация и её обратные операции являются редко используемыми операциями четвёртой ступени, однако такое гипероперирование можно продолжать бесконечно, вплоть до операций 5-й, 6-й и высших ступеней.

Математического анализа

• Дифференцирование — нахождение производной функции, например ${\displaystyle (x^{2})'=2x}$ .
• Интегрирование — обратно дифференцированию; нахождение первообразной функции, например ${\displaystyle \int 2xdx=x^{2}+C}$ .
• Сампирация -нахождение функции по её корням.

Логические

Логические операции — операции над элементами из множества двух элементов: «истина» и «ложь», или «1» и «0».

• Отрицание (${\displaystyle \neg A}$ ) — унарная операция; преобразует «1» в «0», а «0» в «1».
• Конъюнкция (${\displaystyle A\And B}$ ) — бинарная операция; возвращает «1», только если оба аргумента «1».
• Дизъюнкция (${\displaystyle A\lor B}$ ) — бинарная операция; возвращает «0», только если оба аргумента «0».

• Исследование операций
• Гипероператор