Оператор Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция ${\displaystyle \ f(x)}$  имеет в окрестности точки ${\displaystyle \ x_{0}}$  непрерывную вторую производную ${\displaystyle \ f''(x)}$ , то, как это следует из формулы Тейлора

${\displaystyle \ f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$  при ${\displaystyle r\to 0,}$ ,

${\displaystyle \ f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),}$  при ${\displaystyle r\to 0,}$ 

вторая производная есть предел

${\displaystyle \ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.}$ 

Если, переходя к функции ${\displaystyle \ F}$  от ${\displaystyle \ k}$  переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки ${\displaystyle M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{k}^{0})}$  рассматривать её ${\displaystyle \ k}$  -мерную шаровую окрестность ${\displaystyle \ Q_{r}}$  радиуса ${\displaystyle \ r}$  и разность между средним арифметическим

${\displaystyle \ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma }$ 

функции ${\displaystyle \ F}$  на границе ${\displaystyle \ S_{r}}$  такой окрестности с площадью границы ${\displaystyle \ \sigma (S_{r})}$  и значением ${\displaystyle \ F(M_{0})}$  в центре этой окрестности ${\displaystyle \ M_{0}}$ , то в случае непрерывности вторых частных производных функции ${\displaystyle \ F}$  в окрестности точки ${\displaystyle \ M_{0}}$  значение лапласиана ${\displaystyle \ \Delta F}$  в этой точке есть предел

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.}$ 

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F}$ , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

${\displaystyle \ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2(k+2)}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\omega (Q_{r})}}\int \limits _{Q_{r}}F(M)d\omega -F(M_{0})\right\},}$  где ${\displaystyle \ \omega (Q_{r})}$  — объём окрестности ${\displaystyle \ Q_{r}.}$ 

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в ^[1].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции ${\displaystyle \ F.}$  Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве ${\displaystyle q_{1},\ q_{2},\ q_{3}}$ :

${\displaystyle \Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}$ 

${\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}$ 

где ${\displaystyle H_{i}\ }$  — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой ${\displaystyle \ r=0}$ :

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$ 

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}}$ 

или

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$ 

В случае если ${\displaystyle \ f=f(r)}$  в n-мерном пространстве:

${\displaystyle \Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.}$ 

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}$ 

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

${\displaystyle \Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}}$ 

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии ${\displaystyle X}$  задана локальная система координат и ${\displaystyle g_{ij}}$  — риманов метрический тензор на ${\displaystyle X}$ , то есть метрика имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$  .

Обозначим через ${\displaystyle g^{ij}}$  элементы матрицы ${\displaystyle (g_{ij})^{-1}}$  и

${\displaystyle g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}}$ .

Дивергенция векторного поля ${\displaystyle F}$ , заданного коодинатами ${\displaystyle F^{i}}$  (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка ${\displaystyle \sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ ) на многообразии X вычисляется по формуле

${\displaystyle \operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})}$ ,

а компоненты градиента функции f — по формуле

${\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$ 

Оператор Лапласа-Бельтрами на ${\displaystyle X}$ 

${\displaystyle \Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}})}$ 

Значение ${\displaystyle \Delta f}$  является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

• Оператор Д’Аламбера

• Оператор набла
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа

1. ↑ Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.

• MathWorld description of Laplacian