Окрестность

Математический анализ

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$  произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$  на числовой прямой (иногда говорят ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от ${\displaystyle x_{0}}$  не более чем на ${\displaystyle \varepsilon }$ , то есть ${\displaystyle O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}}$ .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый ${\displaystyle \varepsilon }$ -шар с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

В банаховом пространстве ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$  окрестностью с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$  называют множество ${\displaystyle A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\epsilon \}}$ .

В метрическом пространстве ${\displaystyle (M,\rho )}$  окрестностью с центром в точке ${\displaystyle y}$  называют множество ${\displaystyle A=\{x\in M:\rho (x,y)<\epsilon \}}$ .

Общая топология

• Пусть задано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$  — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  — определённая на ${\displaystyle X}$  топология. Множество ${\displaystyle V\subset X}$  называется окрестностью точки ${\displaystyle x\in X}$ , если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$  такое, что ${\displaystyle x\in U\subset V}$ .

• Аналогично окрестностью множества ${\displaystyle M\subset X}$  называется такое множество ${\displaystyle V\subset X}$ , что существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ , для которого выполнено ${\displaystyle M\subset U\subset V}$ .

• Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность ${\displaystyle V}$  была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество ${\displaystyle U}$ . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.^[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.

• Прямо из определения следует, что ${\displaystyle V}$  является окрестностью множества ${\displaystyle M}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle V}$  есть окрестность любой точки ${\displaystyle x\in M}$ .

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда ${\displaystyle (-1,2)}$  является открытой окрестностью, а ${\displaystyle [-1,2]}$  — замкнутой окрестностью точки ${\displaystyle 0}$ .

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество ${\displaystyle {\dot {V}}}$  называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки ${\displaystyle x\in X}$ , если

${\displaystyle {\dot {V}}=V\setminus \{x\},}$ 

где ${\displaystyle V}$  — окрестность ${\displaystyle x}$ .

• Словарь терминов общей топологии

• Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
• У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.

1. ↑ Рудин.