Однородная функция

1. Если функция  ${\displaystyle f}$   является многочленом от  ${\displaystyle n}$   переменных, то она будет однородной функцией степени  ${\displaystyle q}$   в том и только в том случае, когда  ${\displaystyle f}$  — однородный многочлен степени  ${\displaystyle q.}$   В частности в этом случае  ${\displaystyle q}$   должно быть целым.
2. Функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})}$  , где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$  — функция  ${\displaystyle (n-1)}$   переменных, является однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q.}$   Функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$   где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$  — функция  ${\displaystyle (n-1)}$   переменных, является абсолютно-однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q.}$  
3. Однородная функция в нуле равна нулю, если она там определена:  ${\displaystyle f(\mathbf {0} )=0.}$   Получается при подстановке в равенство (*) значения  ${\displaystyle \lambda =0.}$  
4. Соотношение Эйлера: для однородных функций скалярное произведение их градиента на вектор своих переменных пропорционально самой функции с коэффициентом, равным порядку однородности:  ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )}$   или, в эквивалентной записи,  ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}=qf.}$   Получается при дифференцировании равенства (*) по  ${\displaystyle \lambda }$   при  ${\displaystyle \lambda =1.}$  
5. Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  — дифференцируемая однородная функция c порядком однородности  ${\displaystyle q}$  , то её первые частные производные  ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  — это однородные функции c порядком однородности  ${\displaystyle q-1}$ .  Для доказательства достаточно продифференцировать по  ${\displaystyle x_{k}}$   правую и левую части тождества  ${\displaystyle f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$   и получить тождество  ${\displaystyle f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$  

Теорема. Любая однородная функция с порядком однородности ${\displaystyle q}$  может быть представлена в форме

     ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$  

где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$  — некоторая функция  ${\displaystyle (n-1)}$   переменных. Любая абсолютно-однородная функция с порядком однородности  ${\displaystyle q}$   может быть представлена как

  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),}$  

где  ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$  — некоторая функция  ${\displaystyle (n-1)}$   переменных.

Доказательство. Сделаем взаимно-однозначную замену переменных  ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},}$   где  ${\displaystyle t_{k}=x_{k}/x_{1},}$   так что  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).}$   Тогда  ${\displaystyle g(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=\lambda ^{q}g(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}).}$   «Заморозим»  ${\displaystyle t_{2},...,t_{n}.}$   Сделаем замену  ${\displaystyle y=\log |x_{1}|,}$   так что  ${\displaystyle g(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n})\to G(y,t_{2},...,t_{n})}$   и  ${\displaystyle g(\lambda x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n})\to G(y+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n}).}$   После логарифмирования получим равенство  ${\displaystyle \log G(y+\log \lambda ,...)=q\log \lambda +\log G(y,...).}$   Единственным решением функционального уравнения  ${\displaystyle \forall y,\mu \;\varphi (y+\mu )=\varphi (y)+q\mu }$   является функция  ${\displaystyle \varphi (y)=qy+const}$   (следует из дифференцирования этого функционального уравнения по ${\displaystyle \mu }$   при  ${\displaystyle \mu =0}$ ).  Поскольку в нашем случае  ${\displaystyle const=const(t_{2},...,t_{n})=\log h(t_{2},...,t_{n}),}$   после потенцирования (операция, обратная логарифмированию), получим требуемый результат:  ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1}).}$  

Теорема Эйлера для однородных функций. Для того, чтобы функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   была однородной функцией с порядком однородности  ${\displaystyle q,}$   необходимо и достаточно выполнение соотношения Эйлера

 ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$  

Доказательство. Необходимость получается из дифференцирования равенства (*) при  ${\displaystyle \lambda =1.}$   Для доказательства достаточности возьмём функцию  ${\displaystyle \varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})}$   при «замороженных»  ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}.}$   Продифференцируем её по  ${\displaystyle \lambda :}$  

 ${\displaystyle \varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+\lambda ^{-q}\sum f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.}$  

В силу условия  ${\displaystyle \sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})}$   получаем  ${\displaystyle \varphi '(\lambda )=0}$   и  ${\displaystyle \varphi (\lambda )=c=const.}$   Константу  ${\displaystyle c}$   определяем из условия  ${\displaystyle \varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$   В результате  ${\displaystyle \lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$  

Следствие. Если функция дифференцируема и в каждой точке пространства соотношение однородности (*) справедливо в некотором интервале значений  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),}$   то оно справедливо для всех  ${\displaystyle \lambda >0.}$  

Доказательство. Продифференцируем соотношение (*) по  ${\displaystyle \lambda }$   в точке  ${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}:}$  

 ${\displaystyle \sum x_{k}f'_{x_{k}}(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).}$  

Это значит, что в точке  ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k}}$   выполнено соотношение Эйлера, причём в силу произвольности точки  ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   точка  ${\displaystyle (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$   тоже произвольна. Повторив приведённое выше доказательство теоремы Эйлера об однородной функции, мы получим, что в точке  ${\displaystyle (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$   выполнено соотношение однородности, причём для произвольного  ${\displaystyle \lambda >0.}$   Точку  ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   можно выбрать так, чтобы точка  ${\displaystyle (y_{1},y_{2},...,y_{n})}$   совпала с любой наперед заданной точкой пространства. Следовательно, в каждой точке пространства соотношение (*) выполняется при любом  ${\displaystyle \lambda >0.}$  

Пусть задан вектор  ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).}$   Функция ${\displaystyle n}$  переменных  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   называется ${\displaystyle \lambda }$ -однородной c порядком однородности  ${\displaystyle q}$  , если при любых  ${\displaystyle t>0}$   и любых  ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}}$   справедливо тождество

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$ 

При  ${\displaystyle \lambda _{k}=1}$   ${\displaystyle \lambda }$ -однородные функции переходят в обычные однородные функции. Иногда вместо порядка однородности  ${\displaystyle q}$   вводят степень однородности  ${\displaystyle m}$ ,  определяемую из соотношения

${\displaystyle f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$ 

где  ${\displaystyle |\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.}$   Для обычных однородных функций порядок однородности  ${\displaystyle q}$   и степень однородности  ${\displaystyle m}$   совпадают.

Если частные производные  ${\displaystyle f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   непрерывны в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , то для ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций справедливо соотношение, обобщающее соотношение Эйлера и получающееся при дифференцировании тождества для  ${\displaystyle \lambda }$ -однородности в точке  ${\displaystyle t=1}$ :

${\displaystyle \sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$ 

Как и в случае обычных однородных функций, это соотношение является необходимым и достаточным, чтобы функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   была ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функцией с вектором  ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$   и порядком однородности  ${\displaystyle q.}$   Для доказательства достаточности надо рассмотреть функцию  ${\displaystyle \varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_{n})}$   и убедиться, что при выполнении указанного дифференциального соотношения её производная равна нулю, то есть что эта функция константа и что  ${\displaystyle \varphi (t)\equiv \varphi (1).}$ 

Если  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$  — ${\displaystyle \lambda }$ -однородная функция с вектором  ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$   и порядком однородности  ${\displaystyle q}$ ,  то она же является ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функцией с вектором ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})}$   и порядком однородности  ${\displaystyle \alpha q}$   (следует из подстановки в тождество для ${\displaystyle \lambda }$ -однородности нового параметра  ${\displaystyle t'\to t^{\alpha }}$ ). В силу этого при рассмотрении ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций достаточно ограничиваться случаем  ${\displaystyle \sum |\lambda _{k}|=const.}$   В частности, нормировка  ${\displaystyle \sum |\lambda _{k}|}$   может выбираться таким образом, чтобы порядок однородности  ${\displaystyle q}$   был равен заранее фиксированному значению. Кроме того, без ограничения общности можно считать, что  ${\displaystyle \lambda _{k}\neq 0.}$  

При замене переменных  ${\displaystyle x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k}}}$   ${\displaystyle \lambda }$ -однородная функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$   с вектором  ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$   и порядком однородности  ${\displaystyle q}$   переходит в обычную однородную функцию  ${\displaystyle g(y_{1},y_{2},...,y_{n})}$   с порядком однородности  ${\displaystyle q}$ .  Отсюда следует, что общее представление для ${\displaystyle \lambda }$ -однородных функций с вектором  ${\displaystyle \mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})}$   и порядком однородности  ${\displaystyle q}$   имеет вид:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),}$ 

где ${\displaystyle h(t_{2},t_{3},...,t_{n})}$  — некоторая функция ${\displaystyle (n-1)}$  переменных.

Источник: Я. С. Бугров, С. М. Никольский, Высшая математика: учебник для вузов (в 3 т.), Т.2: Дифференциальное и интегральное исчисление (http://www.sernam.ru/lect_math2.php), раздел 8.8.4.

Дифференциальный оператор

${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$ 

иногда называют оператором Эйлера, по аналогии с тождеством Эйлера для однородных функций. Из теоремы Эйлера для однородных функций, приведённой выше, следует, что собственными функциями этого оператора являются однородные функции и только они, причём собственным значением для такой функции является её порядок однородности.

Аналогичным образом для дифференциального оператора

${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}}$ 

собственными функциями являются ${\displaystyle \lambda }$ -однородные функции с вектором  ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})}$   и только они, причём собственным значением является порядок однородности ${\displaystyle \lambda }$ -однородной функции.

Источник: Chi Woo, Igor Khavkine, Euler’s theorem on homogeneous functions (PlanetMath.org)

Функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$   называется ограниченно однородной с показателем однородности  ${\displaystyle q}$   относительно множества положительных вещественных чисел  ${\displaystyle \Lambda }$   (называемого множеством однородности), если для всех  ${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}}$   и для всех  ${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$   справедливо тождество

${\displaystyle f(\lambda {\vec {x}})=\lambda ^{q}f({\vec {x}}).}$ 

Множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   всегда содержит в себе единицу. Множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   не может включать в себя сколь угодно малый непрерывный отрезок  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]}$  — в противном случае ограниченно однородная функция оказывается обычной однородной функцией (см. далее раздел «Некоторые функциональные уравнения, связанные с однородными функциями»). Поэтому интерес представляют те ограниченно однородные функции, у которых  ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\}}$   и у которых множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   сугубо дискретно.

Пример 1. Функция  ${\displaystyle f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)}$   является ограниченно однородной с показателем однородности  ${\displaystyle q}$   относительно множества  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m}\},}$   где  ${\displaystyle m}$  — целые числа.

Пример 2. Функция  ${\displaystyle f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2}-xy+y^{2}}})}$   является ограниченно однородной с показателем однородности  ${\displaystyle q}$   относительно множества  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi k}\},}$   где  ${\displaystyle k}$  — целые числа.

Теорема. Чтобы функция  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),}$   определённая при  ${\displaystyle x_{1}>0,}$   была ограниченно однородной с порядком однородности  ${\displaystyle q,}$   необходимо и достаточно, чтобы она имела вид

 ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$  

где  ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})}$  — функция, периодическая по переменной  ${\displaystyle y}$   с по крайней мере одним периодом, не зависящим от  ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.}$   В таком случае множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   состоит из чисел  ${\displaystyle \{e^{Y_{k}}\},}$   где  ${\displaystyle Y_{k}}$  — периоды функции  ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$   не зависящие от  ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.}$  

Доказательство. Достаточность проверяется непосредственно, надо доказать необходимость. Сделаем замену переменных

 ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},}$   где  ${\displaystyle t_{k}=x_{k}/x_{1},}$  

так что  ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).}$   Если теперь рассмотреть функцию  ${\displaystyle h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1}^{q},}$   то из условия однородности получаем для всех допустимых  ${\displaystyle x_{1}}$   равенство

 ${\displaystyle h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{n}),}$  

которое будет справедливым, когда  ${\displaystyle \lambda \in \Lambda .}$   Если только множество  ${\displaystyle \Lambda }$   не состоит из одной лишь единицы, то после замены  ${\displaystyle x_{1}=\exp(y)}$   функция

 ${\displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},...,t_{n})}$  

оказывается периодической по переменной  ${\displaystyle y}$   с ненулевым периодом  ${\displaystyle \log \lambda }$   для любого выбранного фиксированным образом  ${\displaystyle \lambda \in \Lambda ,}$   поскольку из приведённого выше равенства следует соотношение

 ${\displaystyle H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n}).}$  

Очевидно, что выбранное фиксированное значение ${\displaystyle \log \lambda }$   будет периодом функции  ${\displaystyle H(y,t_{2},...,t_{n})}$   сразу при всех  ${\displaystyle t_{2},...,t_{n}.}$  

Следствия:

1. Если имеется наименьший положительный период  ${\displaystyle Y>0,}$   не зависящий от  ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},}$   то множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   имеет вид  ${\displaystyle \{e^{mY}\},}$   где  ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$  — произвольные целые числа. (Если  ${\displaystyle Y}$  — наименьший положительный период функции  ${\displaystyle H(y,...),}$   то и все  ${\displaystyle Y_{m}=mY}$  — её периоды, поэтому числа  ${\displaystyle \{e^{mY}\}}$   будут входить в множество однородности. Если же найдётся такое значение однородности  ${\displaystyle \lambda _{*}=e^{Y_{*}},}$   что  ${\displaystyle e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},}$   то  ${\displaystyle Y_{*}-mY}$   окажется положительным периодом, не зависящим от  ${\displaystyle t_{2},...,t_{n},}$   который будет меньше, чем  ${\displaystyle Y.}$  )
2. Если функция  ${\displaystyle H(y,\ldots )}$  — это константа по переменной  ${\displaystyle y,}$   то у неё нет наименьшего положительного периода (любое положительное число является её периодом). В этом случае  ${\displaystyle H(y,\ldots )}$   не зависит от переменной  ${\displaystyle y,}$   и функция
       ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})}$  
   — это обычная положительно однородная функция (по меньшей мере). Множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   в этом случае — вся положительная полуось  ${\displaystyle \lambda >0}$   (по меньшей мере).
3. Возможны экзотические случаи, когда у периодической функции  ${\displaystyle H(y,...)}$   не имеется наименьшего положительного периода, но при этом она и не является константой. Например, у функции Дирихле, равной 1 в рациональных точках и равной 0 в иррациональных точках, периодом является любое рациональное число. В таком случае множество однородности  ${\displaystyle \Lambda }$   может иметь достаточно сложную структуру. Однако если при каждом наборе значений  ${\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}}$   у периодической функции  ${\displaystyle H(y,...)}$   есть предел по переменной  ${\displaystyle y}$   хотя бы в одной точке, эта функция либо имеет наименьший положительный период (а все остальные периоды — кратные наименьшего положительного периода), либо является константой по переменной  ${\displaystyle y.}$  
4. Ограниченно однородные функции, определённые при  ${\displaystyle x<0,}$   имеют вид
       ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}),x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})}$  
   с надлежащим образом выбранной функцией  ${\displaystyle H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$   периодической по переменной  ${\displaystyle y.}$  
5. Ограниченно однородные функции, определённые на всей числовой оси за вычетом точки  ${\displaystyle x=0,}$   имеют вид
       ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$  
   с надлежащим образом выбранной функцией  ${\displaystyle H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),}$   периодической по переменной  ${\displaystyle y}$   (где обозначение  ${\displaystyle H_{\pm }(\ldots )}$   подчёркивает, что для интервала значений  ${\displaystyle x>0}$   и для интервала значений  ${\displaystyle x<0}$   выбираются, вообще говоря, разные периодические функции, но имеющие один и тот же период).
6. Формула  ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),}$   является универсальной, но не отражает равноправность всех переменных. Можно представить функцию  ${\displaystyle H(y,t_{2},\dots ,t_{n}\ldots )}$   как  ${\displaystyle G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\dots ,t_{n}),t_{2},\dots ,t_{n}\right),}$   где период функции  ${\displaystyle G\left(t,t_{2},\dots ,t_{n}\right)}$   равен  ${\displaystyle 2\pi ,}$   нормировочный множитель  ${\displaystyle w}$   не зависит от  ${\displaystyle t_{2},\dots ,t_{n},}$   а функция  ${\displaystyle W(t_{2},\dots ,t_{n})}$   выбрана фиксированной. При такой записи ограниченно однородные функции приобретают вид
       ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{n}),}$  
   где  ${\displaystyle F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$  — однородная функция с показателем однородности  ${\displaystyle q}$   по переменным  ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$   и периодическая с периодом  ${\displaystyle 2\pi }$   по переменной  ${\displaystyle y,}$    ${\displaystyle Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$  — фиксированная однородная функция с показателем однородности  ${\displaystyle w}$   по переменным  ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$   а множество однородности имеет вид  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},}$   где  ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$  — произвольные целые числа.
7. Разлагая периодическую функцию  ${\displaystyle F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})}$   из предыдущего пункта в ряд Фурье, можно получить выражение
       ${\displaystyle A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$  
   где  ${\displaystyle A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$   и  ${\displaystyle B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  — произвольные однородные функции с показателем однородности  ${\displaystyle q,}$    ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$  — произвольным образом фиксированная однородная функция с показателем однородности  ${\displaystyle w,}$   а множество однородности  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{mY}\},}$   записано как  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},}$   где  ${\displaystyle m}$  — целые числа. Эта формула является самым общим способом записи для кусочно-непрерывных ограниченно однородных функций с порядком однородности  ${\displaystyle q}$   и множеством однородности  ${\displaystyle \Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.}$   В частности, замена фиксированной функции  ${\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})}$   на набор произвольных однородных функций  ${\displaystyle Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$   не прибавит данной формуле общности, но лишь разнообразит форму представления для одной и той же ограниченно однородной функции.

Библиография: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen. — Elemente der Mathematik 54 (1999).

Источник информации: J.Pahikkala. Boundedly homogeneous function (PlanetMath.org).

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

[раздел пока не написан]

Источник: И. М. Гельфанд, З. Я. Шапиро. Однородные функции и их приложения. Успехи математических наук, т. 10 (1955) вып. 3, стр. 3—70.

1. Пусть

 ${\displaystyle f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$  

при некоторой функции  ${\displaystyle C\left(\lambda \right)}$   на интервале  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].}$   Какова должна быть функция  ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?}$  

Решение. Продифференцируем обе стороны этого соотношения по  ${\displaystyle \lambda .}$   Получим

 ${\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial x_{2}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial x_{n}}}={\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}f(x_{1},\dots ,x_{n}).}$  

Продифференцируем обе стороны этого же соотношения по  ${\displaystyle x_{k},}$   получим соотношения

 ${\displaystyle \lambda {\frac {\partial f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})}{\partial x_{k}}}=C\left(\lambda \right){\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{k}}}.}$  

Отсюда

 ${\displaystyle {\frac {1}{f(x_{1},\dots ,x_{n})}}\left(x_{1}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{1}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f(x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial x_{n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}.}$  

Правая часть зависит только от  ${\displaystyle \lambda ,}$   левая часть зависит только от  ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$   Значит, они обе равны одной и той же константе, которую обозначим через  ${\displaystyle q.}$   Из условия  ${\displaystyle {\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\partial C\left(\lambda \right)}{\partial \lambda }}=q}$   и условия  ${\displaystyle C\left(1\right)=1}$   следует, что  ${\displaystyle C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.}$   Следовательно,  ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$  — однородная функция с параметром однородности ${\displaystyle q.}$   Вырожденные случаи ${\displaystyle C\left(\lambda \right)\equiv 0}$   и ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)\equiv 0}$   рассматриваются отдельно и интереса не представляют.

Примечание. Не обязательно использовать условие  ${\displaystyle C\left(1\right)=1,}$   вообще говоря, изначально не заданное, а также принудительно рассматривать функцию  ${\displaystyle C\left(\lambda \right)}$   за пределами интервала  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].}$  . Из равенства

 ${\displaystyle {\frac {1}{f}}\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+\dots +x_{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)=q}$  

согласно теореме Эйлера об однородных функциях также следует, что  ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$  — однородная функция с параметром однородности ${\displaystyle q.}$   Отсюда, в частности, следует, что если соотношение однородности справедливо для некоторого интервала  ${\displaystyle \lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],}$   то оно справедливо при всех  ${\displaystyle \lambda >0.}$  

2. Пусть

 ${\displaystyle f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)}$  

при некоторых фиксированных значениях  ${\displaystyle C\neq 0,}$    ${\displaystyle \lambda \neq 1}$   и произвольных  ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$   Какова должна быть функция  ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)?}$