Объединение множеств

Объединение двух множеств

Все не повторяемые числа из множеств A и B. Пусть даны два множества ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$ . Тогда их объединением называется множество

${\displaystyle A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}.}$ 

Объединение более чем двух множеств

Пусть дано семейство множеств ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}$  Тогда его объединением называется множество, состоящее из всех элементов всех множеств семейства:

${\displaystyle \bigcup \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \exists \alpha \in A\;x\in M_{\alpha }\}.}$ 

• Объединение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане ${\displaystyle 2^{X};}$ 
• Операция объединения множеств коммутативна:

  ${\displaystyle A\cup B=B\cup A;}$ 

• Операция объединения множеств ассоциативна:

  ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C);}$ 

• Операция объединения множеств дистрибутивна относительно операции пересечения:^[1]

  ${\displaystyle \left(\bigcap _{k}A_{k}\right)\cup B=\bigcap _{k}\left(A_{k}\cup B\right)}$ 

• Пустое множество ${\displaystyle X}$  является нейтральным элементом операции объединения множеств:

  ${\displaystyle A\cup \emptyset =A;}$ 

• Таким образом булеан вместе с операцией объединения множеств является моноидом;
• Операция объединения множеств идемпотентна:

  ${\displaystyle A\cup A=A.}$ 

• Пусть ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},B=\{3,4,5,6,7,8\}.}$  Тогда

${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,8,6,7\};}$ 

• ${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1]=\mathbb {R} .}$ 

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 66. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

• Операции над множествами