Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.
Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в.Основополагающие работы принадлежат Ф. Хаусдорфу, А. Пуанкаре, П. С. Александрову, П. С. Урысону, Л. Брауэру.
Наиболее бурное развитие общей топологии как самостоятельной ветви знания происходило в середине ХХ века, в начале же XXI века она скорее является вспомогательной дисциплиной, «обслуживающей» своим понятийным аппаратом многие области математики: топологию, функциональный анализ, комплексный анализ, теорию графов и т.д..
Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные и кардинальные числа, аксима выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображаениями, классификация топологических пространств.
Содержание
Область изучения
Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Множество называется топологическим пространством, когда задано определённое семейство его открытых подмножеств, удовлетворяющее аксиомам.Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой «антидискретной (=тривиальной) топологии», склеивающей все точки вместе.
В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.).Язык общей топологии включает такие понятия как окрестности, замыкания множеств (а также внутренности), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров.
См. также
Замечания
- Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств.
Литература
- П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию — М.: Наука, 1977
- Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях — М.: Наука, 1974
- Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968
- Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968
- Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986
- Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)
