Абстра́ктная а́лгебра (также вы́сшая а́лгебра или о́бщая а́лгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.
Исторически алгебраические структуры возникали вначале в других областях математики. После абстрагирования от деталей, присущих определенному разделу математики, и выделения аксиоматических определений они становились предметом изучения абстрактной алгебры. Именно поэтому абстрактная алгебра находит многочисленные применения в большинстве других областей математики.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются
Все они возникли как результат обобщения свойств обычных операций умножения и сложения на числах.[источник не указан 4990 дней]
Более сложными примерами алгебраических структур являются
Группы и отображения между ними, называемые гомоморфизмами, изучаются в теории групп. Векторные пространства и линейные отображения между ними изучаются в разделе под названием линейная алгебра. Алгебраические уравнения высших порядков от одной переменной, а также, более общо, свойства групп автоморфизмов различных алгебраических систем есть предмет теории Галуа.
Общие для всех этих алгебраических систем свойства собираются и изучаются теорией категорий. Эта теория доставляет формальные средства для сравнения алгебраических структур и изучения соответствий между ними.