Норма (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. норма.

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Содержание

1 Определение
2 Свойства нормы
- 2.1 Эквивалентность норм
3 Примеры
- 3.1 Линейные нормированные пространства
- 3.2 Некоторые виды матричных норм
4 Связанные понятия
- 4.1 Топология пространства и норма
5 См. также

Определение

Норма вектора

Основная статья: Нормированное пространство

Норма в векторном пространстве V {displaystyle V }

$V$ над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал p:V→R{displaystyle pcolon Vto mathbb {R} } $pcolon Vto {mathbb {R}}$ , обладающий следующими свойствами:

p(x)=0⇒x=0V;{displaystyle p(x)=0Rightarrow x=0_{V};
} $p(x)=0Rightarrow x=0_{V};$
∀x,y∈V,p(x+y)⩽p(x)+p(y){displaystyle forall x,yin V,p(x+y)leqslant p(x)+p(y)} $forall x,yin V,p(x+y)leqslant p(x)+p(y)$ (неравенство треугольника);
∀α∈C,∀x∈V,p(αx)=|α|p(x).{displaystyle forall alpha in mathbb {C} ,forall xin V,p(alpha ,x)=|alpha |p(x).} $forall alpha in mathbb{C} ,forall xin V,p(alpha ,x)=|alpha |p(x).$

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1–3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

∀x∈V,p(x)⩾0{displaystyle forall xin V,p(x)geqslant 0}

$forall xin V,p(x)geqslant 0$ .

Действительно, из третьего свойства следует: p(0V)=p(0⋅0V)=0⋅p(0V)=0{displaystyle p(0_{V})=p(0cdot 0_{V})=0cdot p(0_{V})=0}

$p(0_{V})=p(0cdot 0_{V})=0cdot p(0_{V})=0$ , а из свойства 2 — ∀x∈V:0=p(0V)=p(x−x)⩽p(x)+p(−x)=2p(x){displaystyle forall xin Vcolon 0=p(0_{V})=p(x-x)leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)} $forall xin Vcolon 0=p(0_{V})=p(x-x)leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$ .

Чаще всего норму обозначают в виде: ‖⋅‖{displaystyle |cdot |}

$|cdot |$ . В частности, ‖x‖{displaystyle |x|} $|x|$ — это норма элемента x{displaystyle x} $x$ векторного пространства R{displaystyle mathbb {R} } $mathbb {R}$ .

Вектор с единичной нормой (‖x‖=1{displaystyle |x|=1}

$|x|=1$ ) называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x{displaystyle x}

$x$ можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор x‖x‖{displaystyle {frac {x}{|x|}}} ${frac {x}{|x|}}$ имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы

Основная статья: Норма матрицы

Нормой матрицы A{displaystyle A}

$A$ называется вещественное число ‖A‖{displaystyle |A|} $|A|$ , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0} $|A|geqslant 0$ , причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0} $|A|=0$ только при A=0 {displaystyle A=0 } $A=0$ ;
‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|} $|alpha A|=|alpha |cdot |A|$ , где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} } $alpha in mathbb{R}$ ;
‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|} $|A+B|leqslant |A|+|B|$ ;
‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|} $|AB|leqslant |A|cdot |B|$ .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма ‖⋅‖ab{displaystyle |cdot |_{ab}}

$|cdot |_{{ab}}$ из Km×n{displaystyle K^{mtimes n}} $K^{{mtimes n}}$ называется согласованной с векторной нормой ‖⋅‖a{displaystyle |cdot |_{a}} $|cdot |_{{a}}$ из Kn{displaystyle K^{n}} $K^n$ и векторной нормой ‖⋅‖b{displaystyle |cdot |_{b}} $|cdot |_{{b}}$ из Km{displaystyle K^{m}} $K^{m}$ если справедливо:

‖Ax‖b⩽‖A‖ab‖x‖a{displaystyle |Ax|_{b}leqslant |A|_{ab}|x|_{a}}

|Ax|_{b}leqslant |A|_{{ab}}|x|_{a}

для всех A∈Km×n,x∈Kn{displaystyle Ain K^{mtimes n},xin K^{n}}

$Ain K^{{mtimes n}},xin K^{n}$ .

Норма оператора

Основная статья: Операторная норма

Норма оператора A{displaystyle A}

$A$ — число, которое определяется, как:

‖A‖=sup‖x‖=1‖Ax‖{displaystyle |A|=sup _{|x|=1}|Ax|}

|A|=sup _{{|x|=1}}|Ax|

где A{displaystyle A}

A

— оператор, действующий из нормированного пространства L{displaystyle L}

L

в нормированное пространство K{displaystyle K}

K

Это определение эквивалентно следующему:

‖A‖=supx≠0‖Ax‖‖x‖{displaystyle |A|=sup _{xneq 0}{frac {|
Ax|}{|x|}}}

|A|=sup _{{xneq 0}}{frac {|Ax|}{|x|}}

Свойства операторных норм:

‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0} $|A|geqslant 0$ , причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0} $|A|=0$ только при A=0{displaystyle A=0} $A=0$ ;
‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|} $|alpha A|=|alpha |cdot |A|$ , где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} } $alpha in {mathbb {R}}$ ;
‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|} $|A+B|leqslant |A|+|B|$ ;
‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|} $|AB|leqslant |A|cdot |B|$ .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы

∣‖x‖−‖y‖∣≤‖x±y‖≤‖x‖+‖y‖{displaystyle mid |x|-|y|mid leq |xpm y|leq |x|+|y|} $mid |x|-|y|mid leq |xpm y|leq |x|+|y|$
(‖x‖−‖y‖)2≤‖x±y‖2≤(‖x‖+‖y‖)2{displaystyle (|x|-|y|)^{2}leq |xpm y|^{2}leq (|x|+|y|)^{2}} $(|x|-|y|)^{2}leq |xpm y|^{2}leq (|x|+|y|)^{2}$
‖x‖2+‖y‖2−‖x−y‖22‖x‖‖y‖∈[−1,1]{displaystyle {frac {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}}{2|x||y|}}in [-1,1]} ${frac {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}}{2|x||y|}}in [-1,1]$ [косинус угла]
‖0V‖=‖x−x‖=‖0x‖=0⋅‖x‖=0{displaystyle |0_{V}|=|x-x|=|0x|=0cdot |x|=0} $|0_{V}|=|x-x|=|0x|=0cdot |x|=0$
0=‖x−x‖⩽‖x‖+‖−x‖=2‖x‖⇒‖x‖⩾0{displaystyle 0=|x-x|leqslant |x|+|-x|=2|x|Rightarrow |x|geqslant 0} $0=|x-x|leqslant |x|+|-x|=2|x|Rightarrow |x|geqslant 0$

Эквивалентность норм

Две нормы p{displaystyle p} $p$ и q{displaystyle q} $q$ на пространстве V{displaystyle V} $V$ называются эквивалентными, если существует две положительные константы C1{displaystyle C_{1}} $C_{1}$ и C2{displaystyle C_{2}} $C_{2}$ такие, что для любого x∈V{displaystyle xin V} $x in V$ выполняется C1p(x)⩽q(x)⩽C2p(x){displaystyle C_{1}p(x)leqslant q(x)leqslant C_{2}p(x)} $C_{1}p(x)leqslant q(x)leqslant C_{2}p(x)$ . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры

Линейные нормированные пространства

Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

‖x‖=⟨x,x⟩,x∈X.{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }},quad xin X.}

|x|={sqrt {langle x,xrangle }},quad xin X.

Гёльдеровы нормы n{displaystyle n} $n$ -мерных векторов (семейство): ‖x‖p=(∑i|xi|p)1p{displaystyle |x|_{p}=(sum _{i}|x_{i}|^{p})^{frac {1}{p}}} $|x|_{p}=(sum _{{i}}|x_{i}|^{p})^{{{frac 1p}}}$ ,

где p⩾1{displaystyle pgeqslant 1}

$pgeqslant 1$ (обычно подразумевается, что это натуральное число).В частности:

‖x‖1=∑i|xi|{displaystyle |x|_{1}=sum _{i}|x_{i}|} $|x|_{1}=sum _{{i}}|x_{{i}}|$
‖x‖2=∑i|xi|2{displaystyle |x|_{2}={sqrt {sum _{i}|x_{i}|^{2}}}} $|x|_{2}={sqrt {sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ (евклидова норма),
‖x‖∞=max|xi|{displaystyle |x|_{infty }=max |x_{i}|} $|x|_{infty }=max |x_{{i}}|$ (это предельный случай p→∞{displaystyle prightarrow infty } $prightarrow infty$ ).

Нормы функций в C[0,1]{displaystyle C[0,1]} — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
- ‖f‖C[0,1]=supx∈[0,1]|f(x)|{displaystyle |f|_{C[0,1]}=sup _{xin [0,1]}|f(x)|} $|f|_{{C[0,1]}}=sup _{{xin [0,1]}}|f(x)|$ — в смысле этой нормы пространство C[0,1]{displaystyle C[0,1]} $C[0,1]$ непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
- ‖f‖=∫01|f(t)|dt{displaystyle |f|=int limits _{0}^{1}|f(t)|,dt} $|f|=int limits _{0}^{1}|f(t)|,dt$
- ‖f‖=∫01|f(t)|2dt{displaystyle |f|={sqrt {int limits _{0}^{1}|f(t)|^{2},dt}}} $|f|={sqrt {int limits _{0}^{1}|f(t)|^{2},dt}}$

Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив |f(x)| {displaystyle |f(x)| } $|f(x)|$ на ‖f(x)‖ {displaystyle |f(x)| } $|f(x)|$ , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

Некоторые виды матричных норм

Порожденные нормы ‖A‖p=sup‖x‖p=1‖Ax‖p{displaystyle |A|_{p}=sup _{|x|_{p}=1}|Ax|_{p}} :
- p=1{displaystyle p=1} $p=1$ : m{displaystyle m} $m$ -норма, ‖A‖m=maxi∑j|aij|{displaystyle |A|_{m}=max _{i}sum _{j}|a_{ij}|} ${displaystyle |A|_{m}=max _{i}sum _{j}|a_{ij}|}$
- p=2{displaystyle p=2} $p=2$ (евклидова норма) и m = n (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A равна наибольшему сингулярному числу матрицы A или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы A†A{displaystyle A^{dagger }A} $A^{dagger }A$ : ‖A‖2=λmax(A†A){displaystyle left|Aright|_{2}={sqrt {lambda _{text{max}}(A^{dagger }A)}}} $left|Aright|_{2}={sqrt {lambda _{{{text{max}}}}(A^{dagger }A)}}$ , где A†{displaystyle A^{dagger }} $A^{dagger }$ обозначает матрицу, сопряжённую к матрице A{displaystyle A} $A$ .
- p=∞{displaystyle p=infty } $p=infty$ : l{displaystyle l} $l$ -норма ‖A‖l=maxj∑i|aij|{displaystyle |A|_{l}=max _{j}sum _{i}|a_{ij}|} ${displaystyle |A|_{l}=max _{j}sum _{i}|a_{ij}|}$

Здесь A†{displaystyle A^{dagger }}

A^{dagger }

— сопряжённая к A{displaystyle A}

A

матрица, Tr{displaystyle mathrm {Tr} }

{mathrm {Tr}}

— след матрицы.

Поэлементная p{displaystyle p} -норма (p>0{displaystyle p>0} ): ‖A‖p=(∑i,j|aij|p)1/p{displaystyle |A|_{p}=left(sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}right)^{1/p}}
- Норма Фробениуса: ‖A‖2=∑i,j|aij|2=TrA†A{displaystyle |A|_{2}={sqrt {sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}={sqrt {mathrm {Tr} ,A^{dagger }A}}} $|A|_{2}={sqrt {sum _{{i,j}}|a_{{ij}}|^{2}}}={sqrt {{mathrm {Tr}},A^{dagger }A}}$ .

Связанные понятия

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,r)={y:‖x−y‖<r}{displaystyle B(x,r)={ycolon |x-y|<r}}

$B(x,r)={ycolon |x-y|<r}$ . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также

Для улучшения этой статьи желательно:

Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.