Норма (математика)

Норма вектора

Норма в векторном пространстве ${\displaystyle V\ }$  над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал ${\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }$ , обладающий следующими свойствами:

1. ${\displaystyle p(x)=0\Rightarrow x=0_{V};}$ 
2. ${\displaystyle \forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)}$  (неравенство треугольника);
3. ${\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).}$ 

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1–3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

${\displaystyle \forall x\in V,p(x)\geqslant 0}$ .

Действительно, из третьего свойства следует: ${\displaystyle p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0}$ , а из свойства 2 — ${\displaystyle \forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(x-x)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)}$ .

Чаще всего норму обозначают в виде: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ . В частности, ${\displaystyle \|x\|}$  — это норма элемента ${\displaystyle x}$  векторного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Вектор с единичной нормой (${\displaystyle \|x\|=1}$ ) называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор ${\displaystyle x}$  можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор ${\displaystyle {\frac {x}{\|x\|}}}$  имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы

Нормой матрицы ${\displaystyle A}$  называется вещественное число ${\displaystyle \|A\|}$ , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. ${\displaystyle \|A\|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle \|A\|=0}$  только при ${\displaystyle A=0\ }$ ;
2. ${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|}$ , где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ;
3. ${\displaystyle \|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|}$ ;
4. ${\displaystyle \|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|}$ .

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма ${\displaystyle \|\cdot \|_{ab}}$  из ${\displaystyle K^{m\times n}}$  называется согласованной с векторной нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{a}}$  из ${\displaystyle K^{n}}$  и векторной нормой ${\displaystyle \|\cdot \|_{b}}$  из ${\displaystyle K^{m}}$  если справедливо:

${\displaystyle \|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{ab}\|x\|_{a}}$ 

для всех ${\displaystyle A\in K^{m\times n},x\in K^{n}}$ .

Норма оператора

Норма оператора ${\displaystyle A}$  — число, которое определяется, как:

${\displaystyle \|A\|=\sup _{\|x\|=1}\|Ax\|}$ ,

где ${\displaystyle A}$  — оператор, действующий из нормированного пространства ${\displaystyle L}$  в нормированное пространство ${\displaystyle K}$ .

Это определение эквивалентно следующему:

${\displaystyle \|A\|=\sup _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}}$ 

• Свойства операторных норм:

1. ${\displaystyle \|A\|\geqslant 0}$ , причём ${\displaystyle \|A\|=0}$  только при ${\displaystyle A=0}$ ;
2. ${\displaystyle \|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|}$ , где ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ;
3. ${\displaystyle \|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|}$ ;
4. ${\displaystyle \|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|}$ .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

1. ${\displaystyle \mid \|x\|-\|y\|\mid \leq \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ 
2. ${\displaystyle (\|x\|-\|y\|)^{2}\leq \|x\pm y\|^{2}\leq (\|x\|+\|y\|)^{2}}$ 
3. ${\displaystyle {\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]}$  [косинус угла]
4. ${\displaystyle \|0_{V}\|=\|x-x\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0}$ 
5. ${\displaystyle 0=\|x-x\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0}$ 

Эквивалентность норм

• Две нормы ${\displaystyle p}$  и ${\displaystyle q}$  на пространстве ${\displaystyle V}$  называются эквивалентными, если существует две положительные константы ${\displaystyle C_{1}}$  и ${\displaystyle C_{2}}$  такие, что для любого ${\displaystyle x\in V}$  выполняется ${\displaystyle C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)}$ . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Линейные нормированные пространства

• Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }},\quad x\in X.}$ 

• Гёльдеровы нормы ${\displaystyle n}$ -мерных векторов (семейство): ${\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{i}|x_{i}|^{p})^{\frac {1}{p}}}$ ,

где ${\displaystyle p\geqslant 1}$  (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:

• ${\displaystyle \|x\|_{1}=\sum _{i}|x_{i}|}$ 
• ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i}|x_{i}|^{2}}}}$  (евклидова норма),
• ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max |x_{i}|}$  (это предельный случай ${\displaystyle p\rightarrow \infty }$ ).

• Нормы функций в ${\displaystyle C[0,1]}$  — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
  • ${\displaystyle \|f\|_{C[0,1]}=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|}$  — в смысле этой нормы пространство ${\displaystyle C[0,1]}$  непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
  • ${\displaystyle \|f\|=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt}$ 
  • ${\displaystyle \|f\|={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt}}}$ 

• Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив ${\displaystyle |f(x)|\ }$  на ${\displaystyle \|f(x)\|\ }$ , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

Некоторые виды матричных норм

• Порожденные нормы ${\displaystyle \|A\|_{p}=\sup _{\|x\|_{p}=1}\|Ax\|_{p}}$ :
  • ${\displaystyle p=1}$ : ${\displaystyle m}$ -норма, ${\displaystyle \|A\|_{m}=\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}$ 
  • ${\displaystyle p=2}$  (евклидова норма) и m = n (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A равна наибольшему сингулярному числу матрицы A или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы ${\displaystyle A^{\dagger }A}$ : ${\displaystyle \left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\text{max}}(A^{\dagger }A)}}}$ , где ${\displaystyle A^{\dagger }}$  обозначает матрицу, сопряжённую к матрице ${\displaystyle A}$ .
  • ${\displaystyle p=\infty }$ : ${\displaystyle l}$ -норма ${\displaystyle \|A\|_{l}=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|}$ 

Здесь ${\displaystyle A^{\dagger }}$  — сопряжённая к ${\displaystyle A}$  матрица, ${\displaystyle \mathrm {Tr} }$  — след матрицы.

• Поэлементная ${\displaystyle p}$ -норма (${\displaystyle p>0}$ ): ${\displaystyle \|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}}$ 
  • Норма Фробениуса: ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A}}}$ .

Топология пространства и норма

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида ${\displaystyle B(x,r)=\{y\colon \|x-y\|<r\}}$ . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

• Полунорма
• Метрика
• Скалярное произведение