Непрерывное отображение

Наиболее общее определение даётся в топологии. Это определение глобально, поскольку относится ко всему пространству в целом. Также рассматриваются непрерывные функции, заданные на подмножествах топологического пространства, и тогда понятие непрерывности удобнее сначала сформулировать локально в некоторой точке, а уже потом положить, что функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке данного множества. Непрерывность в точке формулируется на языке окрестностей и связывает систему окрестностей точки области определения с системой окрестностей соответствующей ей точки области значений.

Общее топологическое определение

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  топологического пространства ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$  в топологическое пространство ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$  называется непрерывным в целом или просто непрерывным, если прообраз любого открытого множества открыт, то есть:

${\displaystyle \forall V\in {\mathcal {T}}_{Y}\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}_{X}}$ .

Существуют также и другие эквивалентные определения непрерывности отображения:

• прообраз всякого замкнутого множества замкнут;
• образ замыкания любого множества содержится в замыкании образа этого множества;
• замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе замыкания.

Непрерывность в точке

В математическом анализе принято исходить из непрерывности в точке.

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  называется непрерывным в точке ${\displaystyle x}$ , если для любой окрестности образа точки ${\displaystyle V=V_{f(x)}}$  найдется такая окрестность ${\displaystyle U=U_{x}}$ , что ${\displaystyle f(U)\subset V}$ .

Отображение непрерывно на некотором множестве, если оно непрерывно в каждой точке этого множества. Отображение непрерывно (в целом) тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке пространства. В рамках глобального топологического определения последнее утверждение является теоремой. В математическом анализе это обычно определение.

Непрерывность и предел

Непрерывность отображения определяется также на основании общего понятия сходящейся последовательности точек топологического пространства следующим образом: отображение ${\displaystyle f}$  называется непрерывным в точке ${\displaystyle x}$ , если для любой последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ , сходящейся к ${\displaystyle x}$ , последовательность ${\displaystyle f(x_{n})}$  сходится к ${\displaystyle f(x)}$ , то есть:

${\displaystyle x_{n}\rightarrow x\Rightarrow f(x_{n})\rightarrow f(x)}$  или ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n})=f(x)}$ 

Определенная таким образом непрерывность может быть названа секвенциальной непрерывностью (не является общепринятым термином). В случае, если топология удовлетворяет первой аксиоме счётности секвенциальная непрерывность эквивалентна общему понятию непрерывности.

Непрерывность в метрических и нормированных пространствах

В метрических пространствах топология задается семейством открытых шаров разных «радиусов», определяемых метрикой, поэтому общее определение формулируется в терминах этой метрики ("эпсилон-дельта" - определение):

Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$  метрического пространства ${\displaystyle (X,\rho _{X})}$  в метрическое пространство ${\displaystyle (Y,\rho _{Y})}$  называется непрерывным в точке ${\displaystyle a}$ , если для всякого ${\displaystyle \varepsilon >0}$  существует ${\displaystyle \delta >0}$ , что для всякого ${\displaystyle x\in X}$ , такого, что ${\displaystyle \rho _{X}(x,a)<\delta }$ , выполняется неравенство: ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),f(a))<\varepsilon }$ .

Для линейных нормированных пространств (включая, гильбертовы и конечномерное евклидовы пространства) метрика задается нормой, поэтому то же определение дается в терминах нормы.

Пусть, ${\displaystyle f\colon {N_{1}}\to {N_{2}}}$  отображение между нормированными пространствами с нормами ${\displaystyle \|{*}\|_{1}}$  и ${\displaystyle \|{*}\|_{2}}$  соответственно. Функция ${\displaystyle f}$  непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ , если для любого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$  найдётся такое число ${\displaystyle \delta >0}$ , что для всех точек ${\displaystyle x\in N_{1}}$ , таких что ${\displaystyle \|x-a\|_{1}<\delta }$  выполнено неравенство ${\displaystyle \|f(x)-f(a)\|_{2}<\varepsilon }$ ,

Метрические пространства (а значит и нормированные пространства) удовлетворяют первой аксиоме счетности, поэтому данное определение эквивалентно определению секвенциальной непрерывности.

Непрерывные функции (функционалы)

В случае числовой оси нормой обычно является модуль числа, поэтому определение непрерывности функционала ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} }$  (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .), где ${\displaystyle X}$  - произвольное топологическое пространство, следующее:

Фунционал ${\displaystyle f}$ , называется непрерывным в точке ${\displaystyle a\in X}$ , если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$  найдется окрестность ${\displaystyle \Sigma _{a}}$  этой точки, такая, что ${\displaystyle \forall x\in \Sigma _{a}}$  выполнено условие ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ .

Множество непрерывных на ${\displaystyle X}$  функционалов (функций) принято обозначать ${\displaystyle C(X)}$ . Частным случаем непрерывных функционалов являются непрерывные функции числового аргумента.

Непрерывная числовая функция

Пусть, ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \supset E\to \mathbb {R} }$ . (или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .). Функция ${\displaystyle f}$  непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ , если для любого числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$  найдётся такое число ${\displaystyle \delta >0}$ , что для всех точек ${\displaystyle x\in E}$  условие ${\displaystyle |x-a|<\delta }$  влечет ${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$ .

Другими словами, функция ${\displaystyle f}$  непрерывна в точке ${\displaystyle a}$ , предельной для множества ${\displaystyle E}$ , если она имеет предел в данной точке и этот предел совпадает со значением функции в данной точке:

${\displaystyle f\in C(\{a\})\Leftrightarrow \lim \limits _{x\to a}f(x)=f(a)}$ 

Функция ${\displaystyle f}$  непрерывна на множестве ${\displaystyle E}$ , если она непрерывна в каждой точке данного множества. В этом случае говорят, что функция ${\displaystyle f}$  класса ${\displaystyle C^{0}}$  и пишут: ${\displaystyle f\in C^{0}(E)}$  или, подробнее, ${\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}$ .

• Полный прообраз любого открытого (замкнутого) множества при непрерывном отображении — открытое (замкнутое) множество

• Образ компактного множества при непрерывном отображении — компактное множество.

• Непрерывная числовая функция на компактном множестве ограничена и достигает своих верхней и нижней граней. Это свойство следует из предыдущего.

• Образ связного множества при непрерывном отображении - связное множество.

• (Теорема Титце.) Любая вещественнозначная непрерывная функция, определённая на замкнутом подмножестве нормального пространства может быть продолжена до непрерывной функции на всё пространство.

• Сумма, разность и композиция непрерывных отображений также являются непрерывными отображениями.
• Из непрерывности линейного отображения одного линейного топологического пространства в другое следует его ограниченность. В случае нормированных пространств непрерывность линейного отображения эквивалентна ограниченности.
• Теорема Стоуна-Вейерштрасса (обобщение классической теоремы Вейерштрасса). Пусть ${\displaystyle C(X)}$ - пространство непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве ${\displaystyle X}$ . Пусть ${\displaystyle B(X)}$  - подмножество ${\displaystyle C(X)}$ , содержащее константы, замкнутое относительно композиции и линейной комбинации функций, а также содержащее пределы своих равномерно сходящихся последовательностей функций. В таком случае ${\displaystyle B(X)=C(X)}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X}$ , существует ${\displaystyle f\in B}$ , такая что ${\displaystyle f(x_{1})\not =f(x_{2})}$ .

• Гомеоморфизм - непрерывное взаимно-однозначное отображение одного топологического пространства в другое с также непрерывным обратным отображением.
• Равномерная непрерывность

• Пространство непрерывных функций
• Линейный непрерывный оператор
• Предел функции
• Общая топология
• Топологическое пространство
• Открытое отображение
• Равномерная непрерывность

Математические Этюды Мультик про непрерывность

Келли Дж. Л. Глава 3. Произведения и фактор-пространства // Общая топология = General topology. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 119—151. — 438 с.

Шаблон:Link FA