Неподвижная точка

В математике, неподвижная точка отображения — точка, которую отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения $f(x)=x$ .

Отображение с тремя неподвижными точками

К примеру, отображение $f(x)=x^{2}-3x+3$ имеет неподвижные точки $x=1$ и $x=3$ , поскольку $f(1)=1$ и $f(3)=3$ .

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение $f(x)=x+1$ вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

f(f(\dots f(x)\dots ))=x,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки

Нахождение решения уравнения x=cos x

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут к x стремиться:

f(f(\underbrace {\dots f(y)\dots } _{n\,{\text{times}}}))\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty .

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: |f'(x)|<1.

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения

f(x)={\cfrac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}.

См. также

Теорема Банаха о неподвижной точке
Теорема Брауэра
Особая точка дифференциального уравнения
Теорема Шаудера-Тихонова
шаблон не поддерживает такой синтаксис