Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к двум геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии.
Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — сферической, отрицательная — геометрии Лобачевского.
Метрика для плоскости
Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая ортогональной системы координат:
- Евклидова геометрия: ds2=dx2+dy2{displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}} (теорема Пифагора).
- Сферическая геометрия: ds2=dx2+cos2(yR)dy2{displaystyle ds^{2}=dx^{2}+cos ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}} . Здесь R — радиус сферы.
- Геометрия Лобачевского: ds2=dx2+ch2(yR)dy2{displaystyle ds^{2}=dx^{2}+operatorname {ch} ^{2}left({frac {y}{R}}right)dy^{2}} . Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.
(
. Здесь R — радиус сферы.
. Здесь R — История понятия
Основная статья: Аксиома параллельности Евклида
Литература
- Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
- Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Москва, 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
- Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. — Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988, том 29, стр. 5–146.
- Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в двух томах. М., «Мир», 1984. 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
- История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), тома I—III, М., Наука, 1972.
- Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, — Гостехиздат, Москва, 1956.
- Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.: изд. НКТП СССР, 1936, 355 с.
- Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.
- Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
- Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. Изд. 3-е, МЦНМО, 2004. ISBN 5-94057-166-2.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
