Нега-позиционная система счисления

Нега-позиционная запись	Позиционная запись	Представление числа
174(-10)	34(10)	1·(-10)2 + 7·(-10)1 + 4·(-10)0 = 100 − 70 + 4 = 34
46(-10)	−34(10)	4·(-10)1 + 6·(-10)0 = −40 + 6 = −34
11001(-2)	1001(2)	1·(-2)4 + 1·(-2)3 + 0·(-2)2 + 0·(-2)1 + 1·(-2)0 = 16 − 8 + 1 = 9

Нега-позиционные системы счисления были впервые предложены Витторио Грюнвальдом в его работе «Giornale di Matematiche di Battaglini» 23 (стр 203-221), опубликованной в 1885 году. Грюнвальд описал алгоритмы сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, признаков делимости и преобразования систем счисления.

Число x в нега-позиционной системе счисления с основанием ${\displaystyle b=-r}$  представляется в виде линейной комбинации степеней числа ${\displaystyle -r}$ :

${\displaystyle x=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}(-r)^{k}}$ , где ${\displaystyle a_{k}}$  — это целые числа, называемые цифрами и удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leq a_{k}<r}$ , ${\displaystyle k}$  - порядковый номер разряда начиная с нулевого, n - число разрядов.

Каждая степень ${\displaystyle (-r)^{k}}$  в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя ${\displaystyle k}$ . Обычно для ненулевого числа ${\displaystyle x}$  требуют, чтобы старшая цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$  в b-ричном представлении ${\displaystyle x}$  была также ненулевой.

Нега-позиционные системы сравнимы с знако-разрядными системами счисления, такими как симметричная троичная система, где основание системы положительно, однако цифры могут принимать отрицательные значения из некого промежутка.

Некоторые числа обладают одним и тем же представлением в системах счисления с основанием ${\displaystyle b}$  и ${\displaystyle -b}$  (позиционных и соответствующим им нега-позиционных). К примеру, числа от 100 до 109 одинаково записываются в десятичной и нега-десятичных системах счисления. Аналогично:

${\displaystyle 17=2^{4}+2^{0}=(-2)^{4}+(-2)^{0}}$ 

То есть число 17 имеет одинаковое представление в двоичной и нега-двоичной системах счисления — ${\displaystyle 10001}$ .

Представления чисел от -12 до 12 в различных системах счисления:

Нега-позиционное представление числа может быть получено последовательными делениями с остатком исходного числа на ${\displaystyle b=-r}$  (то есть на основание нега-позиционной системы) и записью подряд остатков начиная с последнего. Заметим, что если ${\displaystyle a/b=c}$ , с остатком ${\displaystyle d}$ , то ${\displaystyle bc+d=a}$ . Пример перевода в нега-троичную систему:

${\displaystyle {\begin{aligned}146&~/~-3=&-48,&~~~d=2\\-48&~/~-3=&16,&~~~d=0\\16&~/~-3=&-5,&~~~d=1\\-5&~/~-3=&2,&~~~d=1\\2&~/~-3=&0,&~~~d=2\\\end{aligned}}}$ 

Следовательно, нега-троичным представлением числа 146₍₁₀₎ является 21102_(-3).

Реализация на C#:

static string negaternary(int value)
{
	string result = string.Empty;
	while (value != 0)
	{
		int remainder = value % -3;
		value = value / -3;
		if (remainder < 0)
		{
			remainder += 3;
			value += 1;
		}
		result = remainder.ToString() + result;
	}
	return result;
}

Сложение

Сложение столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите сложить в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при сложении в каком-либо разряде получается число не менее 10, то надо в этот разряд записать число единиц из полученного числа а из соседнего слева разряда вычесть единицу. Если слева нет разряда, то приписать слева 19 (для нега-десятичной, для нега-троичной 12, для нега-двоичной 11). Например (нега-десятичная система):

 ·  ·
 18115
+
  5487
  3582

5+7=12, 2 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 8+5=13, 3 в разряд минус тысяч, из соседнего слева вычитаем единицу.

  ·
  72
+
  49
1901

2+9=11, 1 в разряд единиц, из соседнего слева вычитаем единицу. 6+4=10, 0 в разряд минус десятков, соседнего слева - нет, приписываем слева 19.

Вычитание

Вычитание столбиком надо делать как в обычной системе, например если вы хотите вычесть в нега-десятичной системе счисления, то это надо делать как в десятичной системе счисления. Но с одним исключением: если при вычитании в каком-либо разряде надо занять десяток, то вы это и делаете, но из соседнего слева разряда вы не вычитаете единицу, а наоборот прибавляете её туда. Если слева нет разряда, то приписать слева 1. Например (нега-десятичная система):

 1
 52
-
 39
 33

2-9 нельзя, занимаем единицу. 12-9=3, 3 в разряд единиц, в соседний слева разряд прибавляем единицу. 6-3=3.

 2
-
 9
13

2-9 нельзя, занимаем единицу. 12-9=3, 3 в разряд единиц, соседнего слева разряда нет, приписываем слева 1.

Умножение

Таблица умножения

Таблица умножения в нега-двоичной системе счисления

Таблица умножения в нега-двоичной системе счисления

Таблица умножения в нега-троичной системе счисления

Таблица умножения в нега-троичной системе счисления

Таблица умножения в нега-десятичной системе счисления

Таблица умножения в нега-десятичной системе счисления:

• Нега-двоичная система счисления
• Знако-разрядная система счисления
• Симметричная система счисления