Монотонная функция

• Разделы:
  • Свойства монотонных функций
  • Условия монотонности функции
  • Примеры
  • Примечания
  • См. также

Моното́нная фу́нкция — это функция, превращение которой в каждой точке некоторого множества при увеличении значения аргумента либо не отрицательное, либо не положительное. Если при этом приращение функции не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Рис. 1. Монотонная функция, неубывающая на сегменте. Рис. 2. Монотонная функция, невозрастающая на сегменте. Рис. 3. Функция, не являющаяся монотонной на сегменте.

Содержание

• 1 Определения[1]
• 2 Свойства монотонных функций
• 3 Условия монотонности функции
• 4 Примеры
• 5 Примечания
• 6 См. также

Определения[1]

• Функция f(x){displaystyle f(x)}  называется неубывающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1{displaystyle x_{1}}  и x2{displaystyle x_{2}}  этого множества, таких что x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}} , справедливо неравенство f(x1)≤f(x2){displaystyle f(x_{1})leq f(x_{2})} .
• Функция f(x){displaystyle f(x)}  называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1{displaystyle x_{1}}  и x2{displaystyle x_{2}}  этого множества, таких что x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}} , справедливо неравенство f(x1)<f(x2){displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})} . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция f(x){displaystyle f(x)}  называется невозрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1{displaystyle x_{1}}  и x2{displaystyle x_{2}}  этого множества, таких что x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}} , справедливо неравенство f(x1)≥f(x2){displaystyle f(x_{1})geq f(x_{2})} .
• Функция f(x){displaystyle f(x)}  называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек x1{displaystyle x_{1}}  и x2{displaystyle x_{2}}  этого множества, таких что x1<x2{displaystyle x_{1}<x_{2}} , справедливо неравенство f(x1)>f(x2){displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})} . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие функции — строго монотонными.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, заданная на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, f:[a,b]→R,{displaystyle f:[a,b]to mathbb {R} ,}  заданная на сегменте, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Мон
  отонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция f:(a,b)→R{displaystyle f:(a,b)to mathbb {R} }  дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

Условия монотонности функции

• Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция f{displaystyle f}

  непрерывна на интервале (a,b){displaystyle (a,b)} , то есть f∈C(a,b){displaystyle fin C(a,b)} , и имеет в каждой точке x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}  производную f′(x).{displaystyle f'(x).}  Тогда
     f{displaystyle f}  не убывает на (a,b){displaystyle (a,b)}  тогда и только тогда, когда ∀x∈(a,b)f′(x)≥0;{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)geq 0;} 

f{displaystyle f}  не возрастает на (a,b){displaystyle (a,b)}  тогда и только тогда, когда ∀x∈(a,b)f′(x)≤0.{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)leq 0.} 

• Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция f∈C(a,b){displaystyle fin C(a,b)}

  и имеет в каждой точке x∈(a,b){displaystyle xin (a,b)}  производную f′(x).{displaystyle f'(x).}  Тогда

если ∀x∈(a,b)f′(x)>0,{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)>0,}  то f{displaystyle f}  возрастает на (a,b);{displaystyle (a,b);} 

если ∀x∈(a,b)f′(x)<0,{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)<0,}  то f{displaystyle f}  убывает на (a,b).{displaystyle (a,b).} 

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b).{displaystyle (a,b).}

  Точнее имеет место

• Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть f∈C(a,b),{displaystyle fin C(a,b),}

  и всюду на интервале существует производная f′(x).{displaystyle f'(x).}  Тогда f{displaystyle f}  возрастает на интервале (a,b){displaystyle (a,b)}  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ∀x∈(a,b)f′(x)≥0;{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)geq 0;} 
2. ∀(c,d)⊂(a,b)∃x∈(c,d)f′(x)>0.{displaystyle forall (c,d)subset (a,b);exists xin (c,d);f'(x)>0.} 

Аналогично, f{displaystyle f}

  убывает на интервале (a,b){displaystyle (a,b)}  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ∀x∈(a,b)f′(x)≤0;{displaystyle forall xin (a,b);f'(x)leq 0;} 
2. ∀(c,d)⊂(a,b)∃x∈(c,d)f′(x)<0.{displaystyle forall (c,d)subset (a,b);exists xin (c,d);f'(x)<0.} 

Примеры

• Функция f(x)=x3{displaystyle f(x)=x^{3}}  возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка x=0{displaystyle x=0}  является стационарной, то есть в этой точке f′(x)=0{displaystyle f'(x)=0} .
• Функция f(x)=x2{displaystyle f(x)=x^{2}}  возрастает на полупрямой x≥0{displaystyle xgeq 0} , несмотря на то, что f′(x)≥0{displaystyle f'(x)geq 0}  на этом множестве.
• Функция f(x)=sin⁡x{displaystyle f(x)=sin x}  является возрастающей не только на интервале (−π/2;π/2){displaystyle (-pi /2;pi /2)} , где f′(x)>0{displaystyle f'(x)>0} , но и на сегменте [−π/2;π/2]{displaystyle [-pi /2;pi /2]} , где f′(x)≥0{displaystyle f'(x)geq 0} .
• Экспонента f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}}  возрастает на всей числовой прямой.
• Константа f(x)≡a,a∈R{displaystyle f(x)equiv a,;ain mathbb {R} }  одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю почти всюду.
• Функция Минковского — пример сингулярной возрастающей функции.

Примечания

1. ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также

• Монотонная последовательность