Монотонная функция

Моното́нная фу́нкция — это функция, превращение которой в каждой точке некоторого множества при увеличении значения аргумента либо не отрицательное, либо не положительное. Если при этом приращение функции не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.

Рис. 1. Монотонная функция, неубывающая на сегменте.
Рис. 2. Монотонная функция, невозрастающая на сегменте.
Рис. 3. Функция, не являющаяся монотонной на сегменте.

Монотонная функция — это функция, которая, если меняется при увеличении значения аргумента, то лишь в одном направлении.

Строго монотонная функция — это функция, которая изменяется при увеличении значения аргумента и только в одном направлении.

Определения[1]

  • Функция   называется неубывающей на некотором множестве, если для любых двух точек   и   этого множества, таких что  , справедливо неравенство  .
  • Функция   называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек   и   этого множества, таких что  , справедливо неравенство  . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Функция   называется невозрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек   и   этого множества, таких что  , справедливо неравенство  .
  • Функция   называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек   и   этого множества, таких что  , справедливо неравенство  . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие функции — строго монотонными.

Свойства монотонных функций

Условия монотонности функции

  • Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция   непрерывна на интервале  , то есть  , и имеет в каждой точке   производную   Тогда
       не убывает на   тогда и только тогда, когда  

  не возрастает на   тогда и только тогда, когда  
  • Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция   и имеет в каждой точке   производную   Тогда

если   то   возрастает на  
если   то   убывает на  

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале   Точнее имеет место

  • Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть   и всюду на интервале существует производная   Тогда   возрастает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1.  
  2.  

Аналогично,   убывает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1.  
  2.  

Примеры

  • Функция   возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка   является стационарной, то есть в этой точке  .
  • Функция   возрастает на полупрямой  , несмотря на то, что   на этом множестве.
  • Функция   является возрастающей не только на интервале  , где  , но и на сегменте  , где  .
  • Экспонента   возрастает на всей числовой прямой.
  • Константа   одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
  • Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю почти всюду.
  • Функция Минковского — пример сингулярной возрастающей функции.

Примечания

  1. В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 4. Непрерывность функции // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 146. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.

См. также