Монотонная функция

• Функция ${\displaystyle f(x)}$  называется неубывающей на некотором множестве, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$  и ${\displaystyle x_{2}}$  этого множества, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо неравенство ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$ .
• Функция ${\displaystyle f(x)}$  называется возрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$  и ${\displaystyle x_{2}}$  этого множества, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо неравенство ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Функция ${\displaystyle f(x)}$  называется невозрастающей на некотором множестве, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$  и ${\displaystyle x_{2}}$  этого множества, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо неравенство ${\displaystyle f(x_{1})\geq f(x_{2})}$ .
• Функция ${\displaystyle f(x)}$  называется убывающей на некотором множестве, если для любых двух точек ${\displaystyle x_{1}}$  и ${\displaystyle x_{2}}$  этого множества, таких что ${\displaystyle x_{1}<x_{2}}$ , справедливо неравенство ${\displaystyle f(x_{1})>f(x_{2})}$ . Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными, возрастающие и убывающие функции — строго монотонными.

• Монотонная функция, заданная на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.
• Монотонная функция, ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} ,}$  заданная на сегменте, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.
• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.
• Монотонная функция ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$  дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.

• Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция ${\displaystyle f}$  непрерывна на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ , то есть ${\displaystyle f\in C(a,b)}$ , и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$  производную ${\displaystyle f'(x).}$  Тогда
     ${\displaystyle f}$  не убывает на ${\displaystyle (a,b)}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$ 

${\displaystyle f}$  не возрастает на ${\displaystyle (a,b)}$  тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0.}$ 

• Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть функция ${\displaystyle f\in C(a,b)}$  и имеет в каждой точке ${\displaystyle x\in (a,b)}$  производную ${\displaystyle f'(x).}$  Тогда

если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)>0,}$  то ${\displaystyle f}$  возрастает на ${\displaystyle (a,b);}$ 

если ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)<0,}$  то ${\displaystyle f}$  убывает на ${\displaystyle (a,b).}$ 

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале ${\displaystyle (a,b).}$  Точнее имеет место

• Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале.

Пусть ${\displaystyle f\in C(a,b),}$  и всюду на интервале существует производная ${\displaystyle f'(x).}$  Тогда ${\displaystyle f}$  возрастает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\geq 0;}$ 
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)>0.}$ 

Аналогично, ${\displaystyle f}$  убывает на интервале ${\displaystyle (a,b)}$  тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1. ${\displaystyle \forall x\in (a,b)\;f'(x)\leq 0;}$ 
2. ${\displaystyle \forall (c,d)\subset (a,b)\;\exists x\in (c,d)\;f'(x)<0.}$ 

• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$  возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка ${\displaystyle x=0}$  является стационарной, то есть в этой точке ${\displaystyle f'(x)=0}$ .
• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$  возрастает на полупрямой ${\displaystyle x\geq 0}$ , несмотря на то, что ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$  на этом множестве.
• Функция ${\displaystyle f(x)=\sin x}$  является возрастающей не только на интервале ${\displaystyle (-\pi /2;\pi /2)}$ , где ${\displaystyle f'(x)>0}$ , но и на сегменте ${\displaystyle [-\pi /2;\pi /2]}$ , где ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$ .
• Экспонента ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$  возрастает на всей числовой прямой.
• Константа ${\displaystyle f(x)\equiv a,\;a\in \mathbb {R} }$  одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.
• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю почти всюду.
• Функция Минковского — пример сингулярной возрастающей функции.

• Монотонная последовательность