Многочлен

Изучение полиномиальных уравнений и их решений долгое время составляло едва ли не главный объект «классической алгебры».

С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем полиномиальных уравнений.

Особые свойства преобразования коэффициентов при перемножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования или выражения при помощи многочленов свойств различных объектов.

• Многочлен вида ${\displaystyle cx_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$  называется одночленом или мономом мультииндекса ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})}$ .
• Одночлен, соответствующий мультииндексу ${\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)}$  называется свободным членом.
• Полной степенью (ненулевого) одночлена ${\displaystyle c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$  называется целое число ${\displaystyle |I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}}$ .
• Множество мультииндексов ${\displaystyle {\mathit {I}}}$ , для которых коэффициенты ${\displaystyle c_{I}}$  ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.
• Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением ${\displaystyle -\infty }$ .
• Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,
• Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом или триномом.
• Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца ${\displaystyle R}$  (чаще всего поля, например, поля вещественных или комплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом ${\displaystyle R}$  без делителей нуля) которое обозначается ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ .
• Для многочлена ${\displaystyle p(x)}$  одной переменной, решение уравнения ${\displaystyle p(x)=0}$  называется его корнем.

Полиномиальные функции

Пусть ${\displaystyle A}$  есть алгебра над кольцом ${\displaystyle R}$ . Произвольный многочлен ${\displaystyle p(x)\in R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$  определяет полиномиальную функцию

${\displaystyle p_{R}:A\to A}$ .

Чаще всего рассматривают случай ${\displaystyle A=R}$ .

В случае, если ${\displaystyle R}$  есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция ${\displaystyle f_{p}:R^{n}\to R}$  полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены ${\displaystyle p_{1}(x)\equiv x}$  и ${\displaystyle p_{2}(x)\equiv x^{2}}$  из ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x]}$  определяют тождественно равные функции ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$ .

Полиномиальная функция одного действительного переменного называется целой рациональной функцией.

• Многочлен одной переменной называется унитарным, нормированным или приведённым^?!, если его старший коэффициент равен единице.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень, называется однородным.
  • Например ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$  — однородный многочлен двух переменных, а ${\displaystyle x^{2}+y+1}$  не является однородным.
• Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

• Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.
• Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.
• Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порождён одним элементом.
  • Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Делимость

Роль неприводимых многочленов в кольце многочленов сходна с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение многочленов ${\displaystyle pq}$  делится на неприводимый многочлен ${\displaystyle \lambda }$ , то p или q делится на ${\displaystyle \lambda }$ . Каждый многочлен степени большей нуля разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен ${\displaystyle x^{4}-2}$ , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного ${\displaystyle x}$  разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого ${\displaystyle n>2}$  существуют многочлены от ${\displaystyle n}$  переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

• Если в определении допустить также отрицательные степени, то полученный объект называется многочленом Лорана (см. ряд Лорана).
• Квазимногочлен
• Тригонометрический многочлен
• Степенной ряд

• Базис Гребнера
• Позином
• Сплайн
• Теорема Гаусса — Люка

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 9 изд. — М., 1968.
• Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра, 2 изд. — М., 1965.
• Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. — М.: Просвещение, 1985. — 127 с.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• Фаддеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

• Многочлен / А. И. Маркушевич // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.