Многоугольник

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым^[1].

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве и др.^[1].

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить ${\displaystyle 180^{\circ }}$  в том случае, если многоугольник невыпуклый.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${\displaystyle 180^{\circ }}$  и внутренним углом, он может принимать значения от ${\displaystyle -180^{\circ }}$  до ${\displaystyle 180^{\circ }}$ .

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с ${\displaystyle n}$  вершинами называется ${\displaystyle n}$ -угольником.

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного ${\displaystyle n}$ -угольника равен ${\displaystyle \{n\}}$ .
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника.. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности.^[2] Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Теорема о сумме углов многоугольника

• Сумма внутренних углов плоского ${\displaystyle n}$ -угольника без самопересечений равна ${\displaystyle 180^{\circ }(n-2)}$ .

Число диагоналей

• Число диагоналей всякого ${\displaystyle n}$ -угольника равно ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$ .

Площадь

• Пусть ${\displaystyle \{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n}$  — последовательность координат соседних друг другу вершин ${\displaystyle n}$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})\right|}$ , где ${\displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}$ .

• Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона ^[3].

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура ${\displaystyle F}$  называется квадрируемой, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$  существует пара многоугольников ${\displaystyle P}$  и ${\displaystyle Q}$ , таких, что ${\displaystyle P\subset F\subset Q}$  и ${\displaystyle S(Q)-S(P)<\varepsilon }$ , где ${\displaystyle S(P)}$  обозначает площадь ${\displaystyle P}$ .

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.