Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым[1].

Различные типы многоугольников

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник с 13 углами и 13 вершинами.

Варианты определений

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым[1].

  • Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
  • Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
  • Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве и др.[1].

Связанные определения

  • Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
  • Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
  • Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить   в том случае, если многоугольник невыпуклый.
  • Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между   и внутренним углом, он может принимать значения от   до  .

Виды многоугольников и их свойства

 
Многоугольник, вписанный в окружность
 
Многоугольник, описанный около окружности

Общие свойства

Теорема о сумме углов многоугольника

  • Сумма внутренних углов плоского  -угольника без самопересечений равна  .

Число диагоналей

  • Число диагоналей всякого  -угольника равно  .

Площадь

  • Пусть   — последовательность координат соседних друг другу вершин  -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:
 , где  .
  • Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона [3].

Квадрируемость фигур

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура   называется квадрируемой, если для любого   существует пара многоугольников   и  , таких, что   и  , где   обозначает площадь  .

Вариации и обобщения

  • Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

Примечания

  1. 1 2 3 Многоугольник // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 749—752.
  2. Картаслов.ру
  3. Хренов Л. С. Вычисление площадей многоугольников по способу Саррона// Матем. просвещение. 1936. Выпуск 6. С. 12–15