Метрический тензор

Координатное представление

Метрический тензор в локальных координатах ${\displaystyle x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}}$ , обычно задаётся как ковариантное тензорное поле ${\displaystyle g_{ij}\ }$ . Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ :

${\displaystyle \left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.}$ 

А для любых векторных полей, скалярное произведение вычисляется по формуле

${\displaystyle \left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$ ,

где ${\displaystyle v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}}$  — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора ${\displaystyle g^{ij}}$ .

В случае невырожденных метрик

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},}$ 

где ${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$  — символ Кронекера. В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, субриманова метрика может быть определена через тензор ${\displaystyle g^{ij}}$ , но тензор ${\displaystyle g_{ij}}$  для неё неопределён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле реперов, то есть выбором реперного поля ${\displaystyle ~\{e_{i}(p)\}}$  и матрицы ${\displaystyle g_{ik}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle }$ .

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем реперов^[1].

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким вложением ${\displaystyle r}$  многообразия ${\displaystyle M}$  в евклидово пространство ${\displaystyle E}$ , может быть посчитана по формуле:

${\displaystyle g=J_{r}^{T}J_{r},}$ 

где ${\displaystyle J_{r}}$  означает матрицу Якоби вложения ${\displaystyle r}$  и ${\displaystyle J_{r}^{T}}$  — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ , которые в этом случае можно отождествить с ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}}$ , определяются как

${\displaystyle g_{ij}=g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,}$ 

где ${\displaystyle \langle *,*\rangle }$  обозначает скалярное произведение в ${\displaystyle E}$ .

Более обобщенно

Пусть ${\displaystyle (N,h)}$  многообразие с метрикой и ${\displaystyle r:M\to N}$  гладкое вложение. Тогда метрика ${\displaystyle g}$  на ${\displaystyle M}$ , определённая равенством

${\displaystyle g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))}$ 

называется индуцированной метрикой. Здесь ${\displaystyle dr}$  обозначает дифференциал отображения ${\displaystyle r}$ .

Совокупность метрических тензоров ${\displaystyle g}$  подразделяется на два класса:

• невырожденные или псевдоримановы метрики, когда ${\displaystyle \ \det(g_{ij})\neq 0}$  во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
  • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
  • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (собственно) псевдоримановым.
    • К этому классу относится метрика Лоренца.
• Вырожденные метрики, когда ${\displaystyle \ \det(g_{ij})=0}$  либо ${\displaystyle \ \det(g^{ij})=0}$  в некоторых точках.
  • Многообразие ${\displaystyle M^{n}\ }$ , метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского).
  • Субримановы метрики.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

• Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
• Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
• Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется псевдоримановым многообразием.
• Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их геодезические (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

• Риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии.

• Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства

• Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на ее основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. Топология Александрова), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Определитель матрицы метрического тензора ${\displaystyle |\det\{g_{ij}\}|}$  дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина ${\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}}$  играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, ${\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}}$  входит в общее выражение тензора Леви-Чивиты, используемого для вычисления смешанного произведения, векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

${\displaystyle S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},}$ 

где ${\displaystyle d\Omega }$  — это элемент ${\displaystyle n}$ -мерного объема, а ${\displaystyle dx^{i}}$  — дифференциалы координат.

• Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

• Метрический тензор на евклидовой плоскости:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}$ 

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В полярных координатах: ${\displaystyle (r,\theta )}$ 

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$ 

• Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса ${\displaystyle R}$ , вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических коордиранах ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$  метрика принимает вид:

  ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$ 

• Метрический тензор для трехмерного евклидова пространства:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны символу Кронекера)

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}$ 

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В сферических координатах: ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ :

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$ 

• Метрика Лоренца (Метрика Минковского).
• Метрика Шварцшильда

Метрический тензор устанавливает изоморфизм между касательным пространством и кокасательным пространством: пусть ${\displaystyle v\in T_{p}M}$  — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора ${\displaystyle g}$  на ${\displaystyle M}$ , мы получаем, что ${\displaystyle g(v,\cdot )}$ , то есть отображение, которое переводит другой вектор ${\displaystyle w\in T_{p}M}$  в число ${\displaystyle g(v,w)}$ , является элементом дуального пространства линейных функционалов (1-форм) ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$ . Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что ${\displaystyle g}$  сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей, это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

${\displaystyle \ g_{ij}v^{j}=v_{i}}$  — опускание индекса для вектора,

${\displaystyle \ g^{ij}v_{j}=v^{i}}$  — поднятие индекса для вектора,

${\displaystyle \ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs}=T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs}}$  — пример одновременного поднятия индекса ${\displaystyle j}$  и опускания индекса ${\displaystyle n}$  для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например символы Кристоффеля, преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к матрицам Якоби, только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

1. ↑ См., например,
   • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
   • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963

• Тензор кривизны
• Ковариантная производная
• Метрическое пространство