Матрица Якоби

Не следует путать с Трёхдиагональная матрица.

Матрица Я́ко́би отображения u:Rn→Rm{displaystyle mathbf {u} colon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} в точке x∈Rn{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}} описывает главную линейную часть произвольного отображения u{displaystyle mathbf {u} } в точке x{displaystyle x}.

Содержание

Определение

Пусть задано отображение u:Rn→Rm,u=(u1,…,um),ui=ui(x1,…,xn),i=1,…,m,{displaystyle mathbf {u} :mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m},mathbf {u} =(u_{1},ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},ldots ,x_{n}),i=1,ldots ,m,}

  имеющее в некоторой точке x{displaystyle x}  все частные производные первого порядка.Матрица J{displaystyle J} , составленная из частных производных этих функций в точке x{displaystyle x} , называется матрицей Якоби данной системы функций.

J(x)=(∂u1∂x1(x)∂u1∂x2(x)⋯∂u1∂xn(x)∂u2∂x1(x)∂u2∂x2(x)⋯∂u2∂xn(x)⋯⋯⋯⋯∂um∂x1(x)∂um∂x2(x)⋯∂um∂xn(x)){displaystyle J(x)={begin{pmatrix}{partial u_{1} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{1} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{1} over partial x_{n}}(x)\{partial u_{2} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{2} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{2} over partial x_{n}}(x)\cdots &cdots &cdots &cdots \{partial u_{m} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{m} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{m} over partial x_{n}}(x)end{pmatrix}}} 

Связанные определения

  • Если m=n{displaystyle m=n} , то определитель |J|{displaystyle |J|}  матрицы Якоби называется определителем Якоби (якобиа́ном) системы функций u1,…,un{displaystyle u_{1},ldots ,u_{n}} .
  • Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:
    rankJ=min(m,n){displaystyle mathrm {rank} ,J=min(m,n)} 

Свойства

  • Если все ui{displaystyle u_{i}}  непрерывно дифференцируемы в окрестности x0{displaystyle mathbf {x} _{0}} , то
    u(x)=u(x0)+J(x0)(x−x0)+o(|x−x0|){displaystyle mathbf {u} (x)=mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(mathbf {x} -mathbf {x} _{0})+o(|mathbf {x} -mathbf {x} _{0}|)} 
  • Пусть φ:Rn→Rm, ψ:Rm→Rk{displaystyle varphi colon {mathbb {R}}^{n}to {mathbb {R}}^{m},~psi colon {mathbb {R}}^{m}to {mathbb {R}}^{k}}  — дифференцируемые отображения, Jφ,Jψ{displaystyle J_{varphi },J_{psi }}  — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):
    Jψ∘φ(x)=Jψ(φ(x))Jφ(x){displaystyle J_{psi circ varphi }(x)=J_{psi }(varphi (x))J_{varphi }(x)} 

См. также