Матрица Якоби

Пусть задано отображение ${\displaystyle \mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,}$  имеющее в некоторой точке ${\displaystyle x}$  все частные производные первого порядка. Матрица ${\displaystyle J}$ , составленная из частных производных этих функций в точке ${\displaystyle x}$ , называется матрицей Якоби данной системы функций.

${\displaystyle J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}}$ 

• Если ${\displaystyle m=n}$ , то определитель ${\displaystyle |J|}$  матрицы Якоби называется определителем Якоби (якобиа́ном) системы функций ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}}$ .
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:

  ${\displaystyle \mathrm {rank} \,J=\min(m,n)}$ 

• Если все ${\displaystyle u_{i}}$  непрерывно дифференцируемы в окрестности ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$ , то

  ${\displaystyle \mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)}$ 

• Пусть ${\displaystyle \varphi \colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{m},~\psi \colon {\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}^{k}}$  — дифференцируемые отображения, ${\displaystyle J_{\varphi },J_{\psi }}$  — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  ${\displaystyle J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)}$ 

• Дифференциал
• Якобиан