wiki

Матрица Якоби

Разделы:

Не следует путать с Трёхдиагональная матрица.

Матрица Я́ко́би отображения u:Rn→Rm{displaystyle mathbf {u} colon mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} ${mathbf {u}}colon mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ в точке x∈Rn{displaystyle xin mathbb {R} ^{n}} $xin mathbb{R} ^{n}$ описывает главную линейную часть произвольного отображения u{displaystyle mathbf {u} } $mathbf {u}$ в точке x{displaystyle x} $x$ .

Table of Contents

Определение

Пусть задано отображение u:Rn→Rm,u=(u1,…,um),ui=ui(x1,…,xn),i=1,…,m,{displaystyle mathbf {u} :mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m},mathbf {u} =(u_{1},ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},ldots ,x_{n}),i=1,ldots ,m,}

${mathbf {u}}:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m},{mathbf {u}}=(u_{1},ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},ldots ,x_{n}),i=1,ldots ,m,$ имеющее в некоторой точке x{displaystyle x} $x$ все частные производные первого порядка.Матрица J{displaystyle J} $J$ , составленная из частных производных этих функций в точке x{displaystyle x} $x$ , называется матрицей Якоби данной системы функций.

J(x)=(∂u1∂x1(x)∂u1∂x2(x)⋯∂u1∂xn(x)∂u2∂x1(x)∂u2∂x2(x)⋯∂u2∂xn(x)⋯⋯⋯⋯∂um∂x1(x)∂um∂x2(x)⋯∂um∂xn(x)){displaystyle J(x)={begin{pmatrix}{partial u_{1} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{1} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{1} over partial x_{n}}(x)\{partial u_{2} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{2} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{2} over partial x_{n}}(x)\cdots &cdots &cdots &cdots \{partial u_{m} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{m} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{m} over partial x_{n}}(x)end{pmatrix}}}

J(x)={begin{pmatrix}{partial u_{1} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{1} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{1} over partial x_{n}}(x)\{partial u_{2} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{2} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{2} over partial x_{n}}(x)\cdots &cdots &cdots &cdots \{partial u_{m} over partial x_{1}}(x)&{partial u_{m} over partial x_{2}}(x)&cdots &{partial u_{m} over partial x_{n}}(x)end{pmatrix}}

Связанные определения

Если m=n{displaystyle m=n} , то определитель |J|{displaystyle |J|} $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби (якобиа́ном) системы функций u1,…,un{displaystyle u_{1},ldots ,u_{n}} $u_{1},ldots ,u_{n}$ .
Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:

rankJ=min(m,n){displaystyle mathrm {rank} ,J=min(m,n)} ${mathrm {rank}},J=min(m,n)$

Свойства

Если все ui{displaystyle u_{i}} $u_{i}$ непрерывно дифференцируемы в окрестности x0{displaystyle mathbf {x} _{0}} ${mathbf {x}}_{0}$ , то

u(x)=u(x0)+J(x0)(x−x0)+o(|x−x0|){displaystyle mathbf {u} (x)=mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(mathbf {x} -mathbf {x} _{0})+o(|mathbf {x} -mathbf {x} _{0}|)} ${mathbf {u}}(x)={mathbf {u}}(x_{0})+J(x_{0})({mathbf {x}}-{mathbf {x}}_{0})+o(|{mathbf {x}}-{mathbf {x}}_{0}|)$
Пусть φ:Rn→Rm, ψ:Rm→Rk{displaystyle varphi colon {mathbb {R}}^{n}to {mathbb {R}}^{m},~psi colon {mathbb {R}}^{m}to {mathbb {R}}^{k}} $varphi colon {mathbb {R}}^{n}to {mathbb {R}}^{m},~psi colon {mathbb {R}}^{m}to {mathbb {R}}^{k}$ — дифференцируемые отображения, Jφ,Jψ{displaystyle J_{varphi },J_{psi }} $J_{varphi },J_{psi }$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

Jψ∘φ(x)=Jψ(φ(x))Jφ(x){displaystyle J_{psi circ varphi }(x)=J_{psi }(varphi (x))J_{varphi }(x)} $J_{{psi circ varphi }}(x)=J_{psi }(varphi (x))J_{varphi }(x)$

См. также

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (13 мая 2011)

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.