Математическое ожидание

Общее определение через интеграл Лебега

Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )}$  и определённая на нём случайная величина ${\displaystyle X}$ . То есть, по определению, ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от ${\displaystyle X}$  по пространству ${\displaystyle \Omega }$ , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается ${\displaystyle M[X]}$  или ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ .

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).}$ 

Определение через функцию распределения случайной величины

Если ${\displaystyle F_{X}(x)}$  — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x);x\in \mathbb {R} }$ .

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью ${\displaystyle f_{X}(x)}$ , равно

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx}$ .

Определение для дискретной случайной величины

Если ${\displaystyle X}$  — дискретная случайная величина, имеющая распределение

${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1}$ ,

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

${\displaystyle M[X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}}$ .

Математическое ожидание целочисленной величины

• Если ${\displaystyle X}$  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

${\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j},\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1}$ 

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности ${\displaystyle \{p_{i}\}}$ 

${\displaystyle P(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;p_{k}s^{k}}$ 

как значение первой производной в единице: ${\displaystyle M[X]=P'(1)}$ . Если математическое ожидание ${\displaystyle X}$  бесконечно, то ${\displaystyle \lim _{s\to 1}P'(s)=\infty }$  и мы будем писать ${\displaystyle P'(1)=M[X]=\infty }$ 

Теперь возьмём производящую функцию ${\displaystyle Q(s)}$  последовательности «хвостов» распределения ${\displaystyle \{q_{k}\}}$ 

${\displaystyle q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{p_{j}};\quad Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }\;q_{k}s^{k}.}$ 

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией ${\displaystyle P(s)}$  свойством: ${\displaystyle Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}}$  при ${\displaystyle |s|<1}$ . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

${\displaystyle M[X]=P'(1)=Q(1)}$ 

Пусть ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})^{\top }\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$  — случайный вектор. Тогда по определению

${\displaystyle M[X]=(M[X_{1}],\dots ,M[X_{n}])^{\top }}$ ,

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Пусть ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  — борелевская функция, такая что случайная величина ${\displaystyle Y=g(X)}$  имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},}$ 

если ${\displaystyle X}$  имеет дискретное распределение;

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx,}$ 

если ${\displaystyle X}$  имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$  случайной величины ${\displaystyle X}$  общего вида, то

${\displaystyle M\left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X}(dx).}$ 

В специальном случае, когда ${\displaystyle g(X)=X^{k}}$ , математическое ожидание ${\displaystyle M[g(X)]=M[X^{k}]}$  называется ${\displaystyle k}$ -м моментом случайной величины.

• Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

${\displaystyle M[a]=a}$ 

${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$  — константа;

• Математическое ожидание линейно, то есть

${\displaystyle M[aX+bY]=aM[X]+bM[Y]}$ ,

где ${\displaystyle X,Y}$  — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$  — произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно - разности) их математических ожиданий.

• Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если ${\displaystyle 0\leqslant X\leqslant Y}$  почти наверняка, и ${\displaystyle Y}$  — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$  также конечно, и более того

${\displaystyle 0\leqslant M[X]\leqslant M[Y]}$ ;

• Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если ${\displaystyle X=Y}$  почти наверняка, то

${\displaystyle M[X]=M[Y]}$ .

• Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных^[3] случайных величин ${\displaystyle X,Y}$  равно произведению их математических ожиданий

${\displaystyle M[XY]=M[X]M[Y]}$ .

• Неравенство Маркова
• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Тождество Вальда
• Лемма Фату
• Правило Лопиталя
• Математическое ожидание случайной величины ${\displaystyle X}$  может быть выражено через её производящую функцию моментов ${\displaystyle G(u)}$  как значение первой производной в нуле: ${\displaystyle M[X]=G'(0)}$ 

• Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.}$  Тогда её математическое ожидание

${\displaystyle M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}}$ 

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

• Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале ${\displaystyle [a,b]}$ , где ${\displaystyle a<b}$ . Тогда её плотность имеет вид ${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)}$  и математическое ожидание равно

${\displaystyle M[X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}}$ .

• Пусть случайная величина ${\displaystyle X}$  имеет стандартное распределение Коши. Тогда

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty }$ ,

то есть математическое ожидание ${\displaystyle X}$  не определено.

• Дисперсия случайной величины
• Моменты случайной величины

• Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

• Математическое ожидание и его свойства на http://www.toehelp.ru