Локально тривиальное расслоение

Локально тривиальным расслоение пространства ${\displaystyle E}$  над базой ${\displaystyle B}$  со слоем ${\displaystyle F}$  называется непрерывное сюръективное отображение ${\displaystyle \pi :E\to B}$ , такое что для всякой точки базы ${\displaystyle x\in B}$  существует окрестность ${\displaystyle U}$ , над которой расслоение устроено как тривиальное, то есть существует гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi }$  открытого множества ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$  на пространство ${\displaystyle U\times F}$ , преобразующее отображение ${\displaystyle \pi }$  в проекцию ${\displaystyle \mathrm {proj_{1}} :\,U\times F\to U}$ , так что коммутативна диаграмма

• Пространство ${\displaystyle E}$  называется (тотальным) пространством расслоения или расслоенным пространством,
• Пространство ${\displaystyle B}$  называется базой расслоения,
• Множество ${\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}\{x\}}$  называется слоем расслоения ${\displaystyle \pi }$  над точкой ${\displaystyle x\in B}$ . Каждый слой гомеоморфен пространству ${\displaystyle F}$ , поэтому пространство ${\displaystyle F}$  называется общим (или модельным) слоем расслоения ${\displaystyle \pi }$ ,
• Гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ , отождествляющий ограничение расслоения ${\displaystyle \pi }$  над окрестностью точки ${\displaystyle x}$  с некоторым тривиальным расслоением, называется локальной тривиализацией расслоения ${\displaystyle \pi }$  над окрестностью точки ${\displaystyle x}$ .
• Если ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$  — покрытие базы ${\displaystyle B}$  открытыми множествами, и ${\displaystyle \varphi _{\alpha }:\pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}$  - соответствующие им отображения тривиализации, тогда семейство ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}}$  называется тривиализующим атласом расслоения ${\displaystyle \pi :E\to B}$ .
• Предположим локально тривиальное расслоение ${\displaystyle \pi :E\to B}$  снабжено покрытием ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$  базы ${\displaystyle B}$  с выделенной тривиализацией ${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{-1}(U_{\alpha })}$  и сужение любого отображения сличения ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{-1}\circ \phi _{\beta }}$  на слой принадлежит некоторой подгруппе ${\displaystyle G}$  группы всех гомеоморфизмов ${\displaystyle F}$ . Тогда ${\displaystyle \pi }$  называется локально тривиальным расслоением со структурной группой ${\displaystyle G}$ .

• Тривиальное расслоение, то есть проекция на фактор ${\displaystyle B\times F\to B}$ 
• Накрытие
• Касательное, кокасательное и тензорные расслоения над произвольным многообразием локально тривиальны.
• Лист Мёбиуса — пространство не тривиального расслоения над окружностью.
• Сконструировать расслоение можно, задав произвольно его базу (пространство ${\displaystyle B}$ ), общий слой (пространство ${\displaystyle F}$ ) и отображения перехода (1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$ ) для какого-нибудь открытого покрытия пространства ${\displaystyle B}$ . Тогда пространство E формально можно получить как множество троек вида ${\displaystyle \{(\alpha ,x,f_{\alpha }):\,x\in U_{\alpha },\,f_{\alpha }\in F\}}$  с правилом отождествления:

${\displaystyle (\alpha ,x,f_{\alpha })=(\beta ,x,f_{\beta })}$ , если ${\displaystyle f_{\beta }=u_{\beta \alpha }f_{\alpha }}$ 

• Если на пространстве ${\displaystyle E}$  задано непрерывное свободное действие группы ${\displaystyle G}$ , то естественное отображение ${\displaystyle E\to E/G}$  является локально тривиальным расслоением. Расслоения такого типа называются главными.

• Отображения перехода удовлетворяют условию 1-коцикла Чеха:

Если ${\displaystyle x\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\gamma }}$ , то ${\displaystyle u_{\beta \alpha }(x)=u_{\beta \gamma }(x)\circ u_{\gamma \alpha }(x)}$ .

• Два расслоения над одной и той же базой и с одним и тем же общим слоем изоморфны, тогда и только тогда, когда 1-коциклы Чеха, соответствующие им, когомологичны. (Отметим, что в случае, когда группа ${\displaystyle \mathrm {Aut} \,F}$  некоммутативна, одномерные когомологии ${\displaystyle H^{1}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$  не образуют группу, а образуют множество, на котором действует (слева) группа 0-коцепей Чеха ${\displaystyle C^{0}(B,\mathrm {Aut} \,F)}$ :

  ${\displaystyle u_{\alpha \beta }'(x)=f_{\alpha }(x)\circ u_{\alpha \beta }(x)\circ f_{\beta }(x)^{-1}}$ ,

где ${\displaystyle \{f_{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$  — 0-коцепь Чеха, действующая на 1-коцикл Чеха ${\displaystyle \{u_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm {Aut} \,F\}}$ . 1-коциклы называются когомологичными, если они лежат в одной орбите этого действия.)

• Для любого локально тривиального расслоения ${\displaystyle \pi :X\to B}$  и непрерывного отображения ${\displaystyle f:B'\to B}$  индуцированное расслоение ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$  является локально тривиальным.

• Локально тривиальные расслоения являются частным случаем
  • расслоений Гуревича и
  • расслоений Серра.

• Если пространства ${\displaystyle E,B,F}$  — гладкие (дифференцируемые) многообразия, отображение ${\displaystyle \pi }$  — гладкое и допускающее тривиализующий атлас с гладкими отображениями тривиализации, то само расслоение называется гладким.
• Расслоение называется голоморфным, если пространства ${\displaystyle E,B,F}$  - комплексные многообразия, отображение ${\displaystyle \pi }$  - голоморфное и существует тривиализующий атлас с голоморфными отображениями тривиализации.

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.