Лемма Гаусса о геодезических

Пусть ${\displaystyle T_{p}}$  обозначает касательное пространство в точке ${\displaystyle p}$  риманова многообразия ${\displaystyle (M,g)}$  и ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}\to M}$  — экспоненциальное отображение. Заметим что для любого вектора ${\displaystyle x\in T_{p}}$  касательное пространство к касательному пространству ${\displaystyle T_{x}T_{p}}$  можно отождествить с самим касательным пространством ${\displaystyle T_{p}}$ .

Для любых ${\displaystyle x,v\in T_{p}}$ 

${\displaystyle g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,}$ 

где ${\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}}$  обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

• Вывод леммы Гаусса используя гамильтонову механику на YouTube