Лагранжиан

Понятие функции Лагранжа было первоначально введено для переформулировки классической механики в виде, известном как лагранжева механика. В этом контексте функция Лагранжа обычно берётся в виде разности кинетической и потенциальной энергии механической системы.

Пусть размерность пространства равна трём и функция Лагранжа записана в виде

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),}$ 

где производная по времени обозначается точкой над дифференцируемой величиной, ${\displaystyle {\vec {x}}}$  — радиус-вектор частицы, m — её масса и V — потенциальная энергия. Тогда уравнение Эйлера-Лагранжа будет: ${\displaystyle m{\ddot {\vec {x}}}+\nabla V=0}$ , где ${\displaystyle \nabla V}$  — градиент.

Используя этот результат, можно легко показать, что этот подход эквивалентен подходу Ньютона. Запишем силу F в терминах потенциала ${\displaystyle {\vec {F}}=-\nabla V(x)}$ , тогда мы получим уравнение ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}}$ , которое аналогично уравнению Ньютона с постоянной массой. Простые вычисления приведут нас к выражению ${\displaystyle {\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt}$ , которое является вторым законом Ньютона в его обобщённой форме.

Для трёхмерной системы со сферическими координатами r, θ, φ с лагранжианом

${\displaystyle {\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)}$ 

можно получить следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,}$ 

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.}$ 

Классический (не квантовый, кроме прочего, игнорирующий спин) лагранжиан быстрой (релятивистской) свободной частицы с точностью до множителя — минус массы частицы, умноженной на универсальную константу — совпадает со скоростью роста длины её мировой линии в пространстве Минковского — или собственного времени:

${\displaystyle -mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$ 

где v — обычная трёхмерная скорость частицы, c — скорость света, m — масса частицы.

Из этого лагранжиана следует классическая динамика релятивистских частиц (релятивистская динамика).

• В теории поля делают различие между функцией Лагранжа L, через который действие выражается как интеграл только по времени

${\displaystyle S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}}$ 

и лагранжианом ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ , которую нужно интегрировать по всему четырёхмерному^[1] пространству-времени:

${\displaystyle S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}}$ 

Тогда лагранжиан — это интеграл по пространственным переменным от плотности лагранжиана.

• В последнее время плотность лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$  часто называют просто лагранжианом; это полезно в релятивистских теориях, поскольку он определён локально. Такое определение терминов, очевидно, альтернативно приведённому в начале параграфа. Нередко также при этом вводят различие между лагранжианом и функцией Лагранжа, понимая под последней интеграл от лагранжиана по пространству.

Оба определения лагранжиана можно получить как специальные случаи общего определения, в зависимости от того, включены пространственные переменные ${\displaystyle {\vec {x}}}$  в индекс i или в параметры s в ${\displaystyle \varphi _{i}(s)}$ . Квантовые теории поля в физике элементарных частиц, такие как квантовая электродинамика, обычно описываются в терминах ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ . Эта форма удобна, так как быстро переводится в правила, используемые для оценки диаграмм Фейнмана.

Электростатика

Электростатика (физика статических — то есть постоянных) электрических полей, которые можно (приближенно или точно) описать скалярным^[3] потенциалом и достаточно медленно движущегося заряженного вещества, подчиняющегося таким образом ньютоновской механике, может быть в целом описана практически в рамках классической механики.

В классической механике лагранжиан есть

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ 

где T — кинетическая энергия и V — потенциальная энергия.

Для заряженной частицы массой m и зарядом q, находящейся в электрическом (электростатическом) поле со скалярным потенциалом ${\displaystyle \phi \ }$ , кинетическая энергия задаётся выражением

${\displaystyle T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$  — для одной частицы (для многих берётся сумма).

Энергия взаимодействия поля с заряженным веществом выглядит как

${\displaystyle V=q\phi \ }$  для одного точечного заряда (для многих суммируется),

или

${\displaystyle V=\int \rho \phi \ dxdydz}$  — в виде для непрерывного распределения заряда.

(Тот и другой вид оказывается полезно выписать отдельно, хотя, конечно, они друг к другу сводятся, если использовать дельта-функцию). Энергия поля входит в член кинетической энергии наряду с кинетической энергией частиц^[4], записываясь как:

${\displaystyle T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,}$ 

где ${\displaystyle \varkappa }$  — «силовая константа», входящая в конечном итоге в закон Кулона.

Таким образом, лагранжиан электростатики, включающий в себя и кинетическую энергию (медленного) движения заряженных частиц, таков:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},}$ 

(каждый член его выписан выше).

• Естественно, этот лагранжиан может быть при необходимости дополнен другими членами, описывающими неэлектрические силы, например, энергией упругости и т. д.

Проварьировав действие с описанным в этом параграфе лагранжианом^[5], легко получить уравнение поля для электростатики (уравнение Пуассона):

${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\varkappa \rho }$ 

и уравнение движения частицы в электростатическом поле (в целом совпадающее с полученным в примере для классической частицы в начале статьи):

${\displaystyle m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi .}$ 

Электродинамика

Трёхмерная формулировка

В случае электродинамики приходится пользоваться уже не классической потенциальной энергией, а обобщённой (зависящей и от скоростей) потенциальной энергией (энергией взаимодействия):

${\displaystyle V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }$ 

или

${\displaystyle V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz}$ 

где c — скорость света, v — скорость частицы, j — вектор плотности тока.

Энергия электромагнитного поля также должна включать по сравнению со случаем электростатики ещё и энергию магнитного поля^[6]:

${\displaystyle T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,}$ 

где E и H следует считать выраженными через скалярный потенциал ${\displaystyle \phi }$  и векторный потенциал А:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A} }$ .

Тогда электромагнитный лагранжиан запишется в виде

${\displaystyle L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.}$ 

или

${\displaystyle L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}.}$ 

Здесь в качестве лагранжиана вещества ${\displaystyle T_{s}}$  можно использовать приближенное выражение для медленных частиц, как описано в параграфе об электростатике, а можно использовать (так как для электродинамики, не ограничивающейся медленными движениями, это, вообще говоря, актуально) релятивистский лагранжиан для быстрых частиц

${\displaystyle T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

Как и в случае электростатики, при необходимости к этому лагранжиану могут быть дописаны дополнительные члены, описывающие неэлектромагнитные силы, другие поля итд, что, впрочем, выходит за рамки задачи описания электромагнитного лагранжиана. Строго говоря, выписывание кинетической энергии вещества тоже выходит за эти рамки, однако мы выписали его, чтобы описание сохраняло целостность.

При варьировании действия с этим лагранжианом по ф и по ${\displaystyle A_{x},A_{y},A_{z}}$  (независимо по каждому, используя вторую форму записи лагранжиана), получаются уравнения Максвелла, а при варьировании по координатам заряженных частиц — используя первую форму записи — уравнения движения заряженных частиц в поле, сводящемуся к:

${\displaystyle d\mathbf {p} /dt=\mathbf {F} _{L},}$ ,

где p — (трехмерный) импульс частицы, ${\displaystyle \mathbf {F} _{L}}$  — сила Лоренца (включая электрический член).

Однако проще и короче всего такой вывод получается в четырёхмерной формулировке (см.далее).

Четырёхмерная формулировка

В четырёхмерной формулировке плотность лагранжиана электромагнитного поля, его взаимодействия с заряженным веществом и (для полноты картины) самого вещества выглядит так (используя систему единиц c=1):

${\displaystyle L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.}$ 

Второй член (описывающий взаимодействие) можно переписать так, что соответствующее действие будет:

${\displaystyle S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.}$ 

(Член ${\displaystyle L_{s}}$  — обычная плотность лагранжиана быстрой — в общем случае — частицы; явно её можно не выписывать, поскольку для классической теории она не нужна, так как для неё нужен лагранжиан такой частицы, выписанный как обычно — см. выше — а не его плотность).

Здесь c — скорость света, ${\displaystyle F^{ik}}$  — тензор электромагнитного поля (в лагранжиан входит его свёртка — квадрат), ${\displaystyle A_{i}}$  — 4-потенциал, ${\displaystyle j^{i}}$  — четырёхмерная плотность тока, ${\displaystyle dx^{i}}$  — 4-перемещение; подразумевается правило Эйнштейна суммирования по повторяющемуся индексу.

Варьированием по ${\displaystyle A_{i}}$  легко получаются уравнения Максвелла в четырёхмерной форме:

${\displaystyle \partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}}$ ,

а варьированием по ${\displaystyle x^{i}}$  — уравнение движения для частицы:

${\displaystyle dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\ }$ 

где ${\displaystyle p_{i}=mu_{i}}$  — 4-импульс, ${\displaystyle u^{k}}$  — 4-скорость.

Лагранжиан квантовой теории поля в принципе совпадает с классическим, за исключением случаев, когда для некоторой части полевых переменных затруднительно ввести классические аналоги или их корректно проинтерпретировать; впрочем, и тогда обычно можно, хотя бы чисто формально, получить то, что называется классическими уравнениями движения, использовав вместо той или иной процедуры квантования поля с данным лагранжианом приближение стационарной фазы (стационарного действия) — то есть найдя классическое приближение описания системы.

Таким образом, лагранжианы, выписанные ниже, не являются в определённом смысле специфичными только для квантовой теории соответствующих полей; тем не менее они в квантовой теории поля используются, представляя в определенном отношении её основу.

Лагранжиан квантовой электродинамики

Плотность лагранжиана для КЭД

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$ 

где ψ — спинор (четырёхмерный), ${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$  — его дираковское сопряжение, ${\displaystyle \!F^{\mu \nu }}$  — тензор электромагнитного поля, D — калибровочная ковариантная производная, и ${\displaystyle \not \!\,D}$  — обозначение Фейнмана для ${\displaystyle \!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }}$ .

Лагранжиан Дирака

Плотность лагранжиана для дираковского поля

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\;\partial -m)\psi }$ .

Лагранжиан квантовой хромодинамики

Плотность лагранжиана для квантовой хромодинамики [1]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }{}_{\mu \nu }F_{\alpha }{}^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}}$ 

где ${\displaystyle \!D_{\mu }}$  — калибровочная ковариантная производная КХД, и ${\displaystyle \!F^{\alpha }{}_{\mu \nu }}$  — тензор напряжённости глюонного поля.

• Christoph Schiller (2005), Global descriptions of motion: the simplicity of complexity, Motion Mountain
• David Tong Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)