Кэлерово многообразие

• Разделы:
  • Связь между определениями Эрмитовых и симплектических
  • Кэлеров потенциал
  • Примеры
  • См. также
  • Ссылки

[[Категория:Википедия:Ошибка выражения: неожидаемый оператор <, редактируемые прямо сейчас]]

Кэлерово многообразие — могообразие с тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой метрикой и симплектической формой.

Названы в честь немецкого математика Эриха Кэлера.

Содержание

• 1 Определения
  • 1.1 Как симплектическое многообразие
  • 1.2 Как комплексноеое многообразие
• 2 Связь между определениями Эрмитовых и симплектических
• 3 Кэлеров потенциал
• 4 Примеры
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Определения

Как симплектическое многообразие

Кэлерово многообразие это симплектическое многообразие (K,ω){displaystyle (K,omega )}

  с интегрируемой почти комплекснаой структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексноеое многообразие

Кэлерово многообразие это Эрмитово многообразие[en] с замкнутой Эрмитовой формой. Такая Эрмитова форма называется Кэлеровой.

Связь между определениями Эрмитовых и симплектических

Пусть h{displaystyle h}

  — эрмитова форма, ω{displaystyle omega }  — симплектическая форма и J{displaystyle J}  — почти комплексная структура. Согласуемость ω{displaystyle omega }  и J{displaystyle J}  означает, что форма

g(u,v)=ω(u,Jv){displaystyle g(u,v)=omega (u,Jv)} 

является Римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством

h=g−iω.{displaystyle h=g-iomega .} 

Кэлеров потенциал

На комплексном многообразии K{displaystyle K}

 , каждая строго плюригармоническая функция[en]  ρ∈C∞(K;R){displaystyle rho in C^{infty }(K;mathbb {R} )}  порождает Кэлерову форму

ω=i2∂∂¯ρ.{displaystyle omega ={frac {i}{2}}partial {bar {partial }}rho .} 

При этом, функция ρ{displaystyle rho }

  называется Кэлеровым потенциалом формы ω{displaystyle omega } .

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки p{displaystyle p}

  Кэлерова многообразия (K,ω){displaystyle (K,omega )}  существует окрестность U∋p{displaystyle Uni p}  и функция ρ∈C∞(U,R){displaystyle rho in C^{infty }(U,mathbb {R} )}  такая, что

ω|U=i∂∂¯ρ{displaystyle omega vert _{U}=ipartial {bar {partial }}rho } .

При этом ρ{displaystyle rho }

  называется локальным Кэлеровым потенциалом формы ω{displaystyle omega } .

Примеры

• Комплексное Евклидово пространство Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}  со стандартной Эрмитовой формой.
• Каждая Риманова метрика на поверхности определяет Кэлерово многообразие, поскольку замкнутость ω тривиально в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство CPn{displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{n}}  с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в Кэлеровом многообразии.
  • В K3-поверхностичастности, любое многообразие Штейна и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении, Кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая вкладываются в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом Кэлеровы многообразия Калаби–Яу коллекторы.

См. также

• Почти комплексного многообразия

Ссылки

• Deligne, P.; Griffiths, Ph.; Morgan, J.; Sullivan, D., (1975), «Real homotopy theory of Kähler manifolds», Invent. Math., 29: 245–274, doi:10.1007/BF01389853 
• Kähler, E. (1933), «Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik», Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 9: 173–186, doi:10.1007/BF02940642 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry, London Mathematical Society Student Texts, 69, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093 
• Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2004), http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf
• André Weil, Introduction à l’étude des variétés kählériennes (1958)