Кэлерово многообразие

Как симплектическое многообразие

Кэлерово многообразие это симплектическое многообразие ${\displaystyle (K,\omega )}$  с интегрируемой почти комплекснаой структурой, которая согласуется с симплектической формой.

Как комплексноеое многообразие

Кэлерово многообразие это Эрмитово многообразие^[en] с замкнутой Эрмитовой формой. Такая Эрмитова форма называется Кэлеровой.

Пусть ${\displaystyle h}$  — эрмитова форма, ${\displaystyle \omega }$  — симплектическая форма и ${\displaystyle J}$  — почти комплексная структура. Согласуемость ${\displaystyle \omega }$  и ${\displaystyle J}$  означает, что форма

${\displaystyle g(u,v)=\omega (u,Jv)}$ 

является Римановой; то есть положительно определённой. Связь между этими структурами можно выразить тождеством

${\displaystyle h=g-i\omega .}$ 

На комплексном многообразии ${\displaystyle K}$ , каждая строго плюригармоническая функция^[en]  ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(K;\mathbb {R} )}$  порождает Кэлерову форму

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\rho .}$ 

При этом, функция ${\displaystyle \rho }$  называется Кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$ .

Локально верно обратное. Точнее, для каждой точки ${\displaystyle p}$  Кэлерова многообразия ${\displaystyle (K,\omega )}$  существует окрестность ${\displaystyle U\ni p}$  и функция ${\displaystyle \rho \in C^{\infty }(U,\mathbb {R} )}$  такая, что

${\displaystyle \omega \vert _{U}=i\partial {\bar {\partial }}\rho }$ .

При этом ${\displaystyle \rho }$  называется локальным Кэлеровым потенциалом формы ${\displaystyle \omega }$ .

• Комплексное Евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  со стандартной Эрмитовой формой.
• Каждая Риманова метрика на поверхности определяет Кэлерово многообразие, поскольку замкнутость ω тривиально в вещественной размерности два.
• Комплексное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$  с метрикой Фубини — Штуди.
• Индуцированная метрика на комплексное подмногообразии в Кэлеровом многообразии.
  • В K3-поверхностичастности, любое многообразие Штейна и любое проективное алгебраическое многообразие.
  • По теореме Кодайры о вложении, Кэлерово многообразие, допускающее положительное расслоение со слоем прямая вкладываются в проективное пространство.
• K3-поверхности
• Важным подклассом Кэлеровы многообразия Калаби–Яу коллекторы.

• Почти комплексного многообразия

• Deligne, P.; Griffiths, Ph.; Morgan, J.; Sullivan, D., (1975), "Real homotopy theory of Kähler manifolds", Invent. Math., 29: 245–274, doi:10.1007/BF01389853 
• Kähler, E. (1933), "Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik", Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 9: 173–186, doi:10.1007/BF02940642 
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052 
• Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. Infinite Dimensional Kähler Manifolds (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry, London Mathematical Society Student Texts, 69, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68897-0, MR 2325093 
• Andrei Moroianu, Lectures on Kähler Geometry (2004), http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf
• André Weil, Introduction à l'étude des variétés kählériennes (1958)