wiki

Круг

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Круг (значения).

Круг — часть плоскости, лежащая внутри окружности [1]. Другими словами, это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданой точки, называемой центром круга, не превышает заданного неотрицательного числа R.{displaystyle R.} $R.$ Число R{displaystyle R} $R$ называется радиусом этого круга[2]. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.

Круг, граничная окружность и радиус

Границей круга по определению является окружность. Открытый круг (внутренность круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра <R{displaystyle <R} ${displaystyle <R}$ . При нестрогом (⩽{displaystyle leqslant } $leqslant$ ) неравенстве получается определение замкнутого круга, который содержит и точки граничной окружности.

Table of Contents

Связанные определения

Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с его границей.
Диаметр — отрезок, соединяющий две точки границы круга и содержащий его центр.
Сектор — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Сегмент — часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.
Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Эти и другие элементы круга, а также соотношения между ними описаны в статье Окружность [1].

Свойства

При вращении плоскости относительно центра круг переходит сам в себя.
Круг является выпуклой фигурой.
Площадь круга радиуса R{displaystyle R} $R$ вычисляется по формуле: S=πR2{displaystyle S=pi R^{2}} $S=pi R^{2}$ , где π{displaystyle pi } $pi$ ≈ 3.14159….
Площадь сектора равна S=αR22{displaystyle S={frac {alpha R^{2}}{2}}} $S={frac {alpha R^{2}}{2}}$ , где α — угловая величина дуги в радианах, R{displaystyle R} $R$ — радиус.
Периметр круга (длина граничной окружности): L=2πR{displaystyle L=2pi R} $L=2pi R$ .
(Изопериметрическое неравенство) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.

Обобщения

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.

Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть ρ((x1,y1);(x2,y2))=|x1−x2|+|y1−y2|{displaystyle rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|}

$rho ((x_{1},y_{1});(x_{2},y_{2}))=|x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|$ , то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами (1,0),(0,1),(−1,0),(0,−1){displaystyle (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)} $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ .

См. также

Примечания

↑ 1 2 Справочник по элементарной математике, 1978, с. 228.
↑ Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1983. — С. 193. — 480 с.

Литература

В родственных проектах

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.