Критическая точка (математика)

Критической точкой дифференцируемой функции , где  — область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения в ней меньше максимально возможного значения .

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф.

Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Формальное определение

Критической (или особой или стационарной) точкой непрерывно дифференцируемого отображения   называется такая точка  , в которой дифференциал этого отображения   является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках   и  , то есть размерность образа   меньше  [1]. В координатной записи при   это означает что якобиан — определитель матрицы Якоби отображения  , составленной из всех частных производных   — в точке   обращается в нуль[2]. Пространства   и   в этом определении могут быть заменены на многообразия   и   таких же размерностей.

Теорема Сарда

Значение отображения в критической точке называется его критическим значением. Согласно лемме Сарда[3], множество критических значений любого достаточно гладкого отображения имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественного отображения любая точка является критической).

Случай постоянного ранга

Если в окрестности точки   ранг непрерывно дифференцируемого отображения   равен одному и тому же числу  , то в окрестности этой точки   существуют локальные координаты   с центром в  , а в окрестности её образа — точки   — существуют локальные координаты   с центром в  , такие, что в них отображение   задается соотношениями[4][5]:

 

В частности, если   и отображение   в точке   является локальным диффеоморфизмом, т.е. в этой точке ранг отображения  , существуют локальные координаты   с центром в   и локальные координаты   с центром в  , такие, что в них отображение   является тождественным.

Случай m = 1

В случае   данное определение означает, что градиент   в данной точке обращается в нуль. В простейшем случае   это значит, что производная   в данной точке равна нулю. Критическая точка функции   называется невырожденной, если в ней гессиан   отличен от нуля.

При   имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция  , определенная во всем пространстве   или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица     в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)[6].

Если   имеет класс гладкости не ниже  , то в окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция   имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса)[7].

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки   конечной кратности   существует система координат, в которой гладкая функция   имеет вид многочлена   степени   (в качестве   можно взять многочлен Тейлора функции   в точке   в исходных координатах)[8][9].

См. также

Литература

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.

Примечания

  1. Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.
  2. Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.
  3. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
  4. Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 6 (теорема о ранге).
  5. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
  6. Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.
  7. Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 6 (теорема о ранге).
  8. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
  9. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.