Критическая точка (математика)

Разделы:

У этого термина существуют и другие значения, см. Критическая точка.

Критической точкой дифференцируемой функции f:D→R{displaystyle f:Dto mathbb {R} } $f:Dto mathbb{R}$ , где D{displaystyle D} $D$ — область в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений f:Rn→Rm{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ , и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий f:Nn→Mm{displaystyle f:N^{n}to M^{m}} $f:N^{n}to M^{m}$ . В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения f{displaystyle f} $f$ в ней меньше максимально возможного значения min{n,m}{displaystyle min{n,m}} $min{n,m}$ .

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф.

Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Содержание

1 Формальное определение
2 Теорема Сарда
3 Случай постоянного ранга
4 Случай m = 1
5 См. также
6 Литература
7 Примечания

Формальное определение

Критической (или особой или стационарной) точкой непрерывно дифференцируемого отображения f:Rn→Rm{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}

$f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R} ^{m}$ называется такая точка x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}} $x_{0}in mathbb{R} ^{n}$ , в которой дифференциал этого отображения f∗=∂f∂x{displaystyle f_{*}={frac {partial f}{partial x}}} $f_{*}={frac {partial f}{partial x}}$ является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и f(x0){displaystyle f(x_{0})} $f(x_{0})$ , то есть размерность образа f∗{displaystyle f_{*}} $f_{*}$ меньше min{n,m}{displaystyle min{n,m}} $min{n,m}$ [1]. В координатной записи при n=m{displaystyle n=m} $n=m$ это означает что якобиан — определитель матрицы Якоби отображения f{displaystyle f} $f$ , составленной из всех частных про
изводных ∂fj∂xi{displaystyle {frac {partial f_{j}}{partial x_{i}}}} ${displaystyle {frac {partial f_{j}}{partial x_{i}}}}$ — в точке f(x0){displaystyle f(x_{0})} $f(x_{0})$ обращается в нуль[2]. Пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ и Rm{displaystyle mathbb {R} ^{m}} $mathbb{R} ^{m}$ в этом определении могут быть заменены на многообразия Nn{displaystyle N^{n}} $N^{n}$ и Mm{displaystyle M^{m}} $M^{m}$ таких же размерностей.

Теорема Сарда

Основная статья: Теорема Сарда

Значение отображения в критической точке называется его критическим значением. Согласно лемме Сарда [3], множество критических значений любого достаточно гладкого отображения имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для тождественного отображения любая точка является критической).

Случай постоянного ранга

Если в окрестности точки x0∈Rn{displaystyle x_{0}in mathbb {R} ^{n}}

$x_{0}in mathbb{R} ^{n}$ ранг непрерывно дифференцируемого отображения f:Rn→Rm{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}} ${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{m}}$ равен одному и тому же числу r{displaystyle r} $r$ , то в окрестности этой точки x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ существуют локальные координаты (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} $(x_{1},ldots ,x_{n})$ с центром в x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ , а в окрестности её образа — точки y0=f(x0){displaystyle y_{0}=f(x_{0})} ${displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ — существуют локальные координаты (y1,…,ym){displaystyle (y_{1},ldots ,y_{m})} $(y_{1},ldots ,y_{m})$ с центром в y0{displaystyle y_{0}} $y_0$ , такие, что в них отображение f{displaystyle f} $f$ задается соотношениями[4][5]:

y1=x1, …, yr=xr, yr+1=0, …, ym=0.{displaystyle y_{1}=x_{1}, ldots , y_{r}=x_{r}, y_{r+1}=0, ldots , y_{m}=0.}

$y_{1}=x_{1}, ldots , y_{r}=x_{r}, y_{{r+1}}=0, ldots , y_{m}=0.$

В частности, если n=m{displaystyle n=m}

$n=m$ и отображение f:Rn→Rn{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}
${displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}}$ в точке x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ является локальным диффеоморфизмом, т.е. в этой точке ранг отображения r=n=m{displaystyle r=n=m} ${displaystyle r=n=m}$ , существуют локальные координаты (x1,…,xn){displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} $(x_{1},ldots ,x_{n})$ с центром в x0{displaystyle x_{0}} $x_{0}$ и локальные координаты (y1,…,yn){displaystyle (y_{1},ldots ,y_{n})} ${displaystyle (y_{1},ldots ,y_{n})}$ с центром в y0{displaystyle y_{0}} $y_0$ , такие, что в них отображение f{displaystyle f} $f$ является тождественным.

Случай m = 1

Основная статья: Лемма Морса

В случае m=1{displaystyle m=1}

$m=1$ данное определение означает, что градиент ∇f=(fx1′,…,fxn′){displaystyle nabla f=(f’_{x_{1}},ldots ,f’_{x_{n}})} $nabla f=(f'_{{x_{1}}},ldots ,f'_{{x_{n}}})$ в данной точке обращается в нуль. В простейшем случае n=m=1{displaystyle n=m=1} $n=m=1$ это значит, что производная f′{displaystyle f’} $f'$ в данной точке равна нулю. Критическая точка функции f:Rn→R{displaystyle f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} } $f:mathbb{R} ^{n}to mathbb{R}$ называется невырожденной, если в ней гессиан |∂2f∂x2|{displaystyle {Bigl |}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr |}} ${Bigl |}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr |}$ отличен от нуля.

При m=1{displaystyle m=1}

$m=1$ имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция f{displaystyle f} $f$ , определенная во всем пространстве Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица (∂2f∂x2)=(∂2f∂xi∂xj),{displaystyle {Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr )}={Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}{Bigr )},} ${Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x^{2}}}{Bigr )}={Bigl (}{frac {partial ^{2}f}{partial x_{i}partial x_{j}}}{Bigr )},$ i,j=1,…,n,{displaystyle i,j=1,ldots ,n,} $i,j=1,ldots ,n,$ в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)[6].

Если f{displaystyle f}

$f$ имеет класс гладкости не ниже C3{displaystyle C^{3}} $C^{3}$ , то в окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса)[7].

Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является теорема Тужрона: в окрестности вырожденной критической точки 0{displaystyle 0}

${displaystyle 0}$ конечной кратности μ{displaystyle mu } $mu$ существует система координат, в которой гладкая функция f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ имеет вид многочлена Pμ+1(x){displaystyle P_{mu +1}(x)} $P_{{mu +1}}(x)$ степени μ+1{displaystyle mu +1} $mu +1$ (в качестве Pμ+1(x){displaystyle P_{mu +1}(x)} $P_{{mu +1}}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции f(x){displaystyle f(x)} $f(x)$ в точке 0{displaystyle 0} ${displaystyle 0}$ в исходных координатах)[8][9].

См. также

Литература

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.

Примечания

↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.
↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 —
Любое издание, гл. VIII, пар. 6 (теорема о ранге).
↑ Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.
↑ Зорич В. А. Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 6 (теорема о ранге).
↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
↑ Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.

Для улучшения этой статьи желательно:

Оформить список литературы.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.