Криволинейная система координат

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3) снабжено декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

${\displaystyle dS^{2}=\mathbf {dx} ^{2}+\mathbf {dy} ^{2}+\mathbf {dz} ^{2}.}$ 

Общий случай

Пусть ${\displaystyle q_{1}}$ , ${\displaystyle q_{2}}$ , ${\displaystyle q_{3}}$  — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданные гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции ${\displaystyle q_{1}}$ , ${\displaystyle q_{2}}$ , ${\displaystyle q_{3}}$  служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=\varphi _{1}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\y=\varphi _{2}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right);\\z=\varphi _{3}\left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right),\end{matrix}}\right.}$ 

где ${\displaystyle \varphi _{1},\;\varphi _{2},\;\varphi _{3}}$  — функции, определённые в некоторой области наборов ${\displaystyle \left(q_{1},\;q_{2},\;q_{3}\right)}$  координат.

Локальный базис и тензорный анализ

Ортогональные криволинейные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае.

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

${\displaystyle dS^{2}=\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}\mathbf {dq} _{i}\right)^{2},~i=1,2,3}$ 

Принимая во внимание ортогональность систем координат (${\displaystyle \mathbf {dq} _{i}\cdot \mathbf {dq} _{j}=0}$  при ${\displaystyle i\neq j}$ ) это выражение можно переписать в виде

${\displaystyle dS^{2}=H_{1}^{2}dq_{1}^{2}+H_{2}^{2}dq_{2}^{2}+H_{3}^{2}dq_{3}^{2},}$ 

где

${\displaystyle H_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \varphi _{3}}{\partial q_{i}}}\right)^{2}}};\ i=1,\;2,\;3}$ 

Положительные величины ${\displaystyle H_{i}\ }$ , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах ${\displaystyle {q_{i}}}$ , представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

Полярные координаты (n=2)

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\end{matrix}}\right.}$ 

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r.\end{matrix}}}$ 

Дифференциал дуги:

${\displaystyle dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}.}$ 

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в означенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos {\varphi };\\y=r\sin {\varphi }.\\z=z.\end{matrix}}\right.}$ 

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\varphi }=r;\\H_{z}=1.\end{matrix}}}$ 

Дифференциал дуги:

${\displaystyle dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}.}$ 

Сферические координаты (n=3)

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\sin {\theta }\cos {\varphi };\\y=r\sin {\theta }\sin {\varphi };\\z=r\cos {\theta }.\end{matrix}}\right.}$ 

Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{r}=1;\\H_{\theta }=r;\\H_{\varphi }=r\sin {\theta }.\end{matrix}}}$ 

Дифференциал дуги:

${\displaystyle dS^{2}\ =\ dr^{2}\ +\ r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }d\varphi ^{2}.}$ 

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения

Ортогональные:

• Эллиптические координаты — расширяются до 3 измерений
• Параболические координаты — расширяются до 3 измерений
• Биполярные координаты — расширяются до 3 измерений
• …

Прочие:

• Бицентрические координаты
• Биангулярные координаты

…

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт.

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.