Кривизна

Пусть ${\displaystyle \gamma (t)}$  — регулярная кривая в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве, параметризованная её длиной ${\displaystyle t}$ . Тогда

${\displaystyle \kappa =|{\ddot {\gamma }}(t)|}$ 

называется кривизной кривой ${\displaystyle \gamma }$  в точке ${\displaystyle p=\gamma (t)}$ , здесь ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}(t)}$  обозначает вторую производную по ${\displaystyle t}$ . Вектор

${\displaystyle k={\ddot {\gamma }}(t)}$ 

называется вектором кривизны ${\displaystyle \gamma }$  в точке ${\displaystyle p=\gamma (t)}$ .

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной ${\displaystyle \tau (t)={\dot {\gamma }}(t)}$ :

${\displaystyle k={\dot {\tau }}(t),}$ 

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

${\displaystyle \kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}}$ ,

где ${\displaystyle \gamma '}$  и ${\displaystyle \gamma ''}$  соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора ${\displaystyle \gamma }$  в требуемой точке по параметру (при этом под ${\displaystyle \times }$  для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением ${\displaystyle y=y(x)}$ , кривизна вычисляется по формуле:

${\displaystyle \kappa (x)={\frac {|y''|}{({\sqrt {1+y'^{2}}})^{3}}}.}$ 

Для того, чтобы кривая ${\displaystyle \gamma }$  совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (${\displaystyle r=1/\kappa }$ ), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Если кривая лежит в одной плоскости, её кривизне можно приписать знак. Такая кривизна часто называется ориентированной. Это можно сделать следующим образом: если при движении точки в сторону возрастания параметра вращение вектора касательной происходит против часовой стрелки, то кривизна считается положительной, если по часовой стрелке, — отрицательной. Ориентированная кривизна выражается формулой

${\displaystyle \kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3}}}={\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.}$ 

Пусть ${\displaystyle \Phi }$  есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть ${\displaystyle p}$  — точка ${\displaystyle \Phi ,}$  ${\displaystyle T_{p}}$  — касательная плоскость к ${\displaystyle \Phi }$  в точке ${\displaystyle p,}$  ${\displaystyle n}$  — единичная нормаль к ${\displaystyle \Phi }$  в точке ${\displaystyle p,}$  а ${\displaystyle \pi _{e}}$  — плоскость, проходящая через ${\displaystyle n}$  и некоторый единичный вектор ${\displaystyle e}$  в ${\displaystyle T_{p}.}$  Кривая ${\displaystyle \gamma _{e},}$  получающаяся как пересечение плоскости ${\displaystyle \pi _{e}}$  с поверхностью ${\displaystyle \Phi ,}$  называется нормальным сечением поверхности ${\displaystyle \Phi }$  в точке ${\displaystyle p}$  в направлении ${\displaystyle e.}$  Величина

${\displaystyle \kappa _{e}=k\cdot n}$ 

где ${\displaystyle \cdot }$  обозначает скалярное произведение, а ${\displaystyle k}$  — вектор кривизны ${\displaystyle \gamma _{e}}$  в точке ${\displaystyle p}$ , называется нормальной кривизной поверхности ${\displaystyle \Phi }$  в направлении ${\displaystyle e}$ . С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой ${\displaystyle \gamma _{e}}$ .

В касательной плоскости ${\displaystyle T_{p}}$  существуют два перпендикулярных направления ${\displaystyle e_{1}}$  и ${\displaystyle e_{2}}$  такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

${\displaystyle \kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha }$ 

где ${\displaystyle \alpha }$  — угол между этим направлением и ${\displaystyle e_{1}}$ , a величины ${\displaystyle \kappa _{1}}$  и ${\displaystyle \kappa _{2}}$  нормальные кривизны в направлениях ${\displaystyle e_{1}}$  и ${\displaystyle e_{2}}$ , они называются главными кривизнами, а направления ${\displaystyle e_{1}}$  и ${\displaystyle e_{2}}$  — главными направлениями поверхности в точке ${\displaystyle p}$ . Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

${\displaystyle H=\kappa _{1}+\kappa _{2}}$ , (иногда ${\displaystyle {\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}}$ )

называется средней кривизной поверхности. Величина

${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}}$ 

называется гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

• Аффинная кривизна
• Дифференциальная геометрия кривых
• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Кривизна римановых многообразий
• Поверхность
• Тензор кривизны
• Форма кривизны

• Виленкин Н. О кривизне // Квант. — 1992. — № 4.

• Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии (3-е издание). М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.