Кривая второго порядка

Разделы:

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a11x2+a22y2+2a12xy+2a13x+2a23y+a33=0,{displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}

{displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,}

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22{displaystyle a_{11},~a_{12},~a_{22}} $a_{11},~a_{12},~a_{22}$ отличен от нуля.

Содержание

1 История
2 Инварианты
3 Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение
4 Классификация кривых второго порядка
- 4.1 Невырожденные кривые
- 4.2 Вырожденные кривые
5 Диаметры и центр кривой второго порядка
6 Главные оси и вершины кривой второго порядка
7 Уравнения
8 Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
9 См. также
10 Ссылки
11 Литература
12 Примечания

История

Впервые кривые второго порядка изучались Менехмом, учеником Евдокса.[1][2] Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической — по гиперболе.

Инварианты

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
- Δ=|a11a12a13a12a22a23a13a23a33|{displaystyle Delta ={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{12}&a_{22}&a_{23}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{vmatrix}}} $Delta=begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{12} & a_{22} & a_{23} \ a_{13} & a_{23} & a_{33} end{vmatrix}$
- D=|a11a12a12a22|=a11a22−a122{displaystyle D={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2}} $D=begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{12} & a_{22}end{vmatrix}=a_{11}a_{22} - a_{12}^2$
- I=tr(a11a12a12a22)=a11+a22{displaystyle I={text{tr}}{begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22}} $I=text{tr}begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{12} & a_{22}end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}$
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[источник не указан 3591 день]
- B=|a11a13a13a33|+|a22a23a23a33|{displaystyle B={begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\a_{13}&a_{33}end{vmatrix}}+{begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{23}&a_{33}end{vmatrix}}} $B=begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{13} & a_{33}end{vmatrix}+begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{23} & a_{33}end{vmatrix}$

Иногда встречающееся выражение «инвариант кривой» является неточным. Если умножить уравнение на ненулевое число k, то получится уравнение, задающее ту же самую кривую. При этом значения инвариантов изменятся. Δ′=Δk3,D′=Dk2{displaystyle Delta ‘=Delta k^{3},D’=Dk^{2}}

${displaystyle Delta '=Delta k^{3},D'=Dk^{2}}$ и т.д.

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

F0(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2.{displaystyle F_{0}(x,,y)=a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}.}

F_0(x,,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Так, например, невырожденная кривая (Δ≠0){displaystyle left(Delta neq 0right)}

$left(Deltane0right)$ оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли F0(x,y){displaystyle F_{0}(x,,y)} $F_0(x,,y)$ положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

|a11−λa12a12a22−λ|=0{displaystyle {begin{vmatrix}a_{11}-lambda &a_{12}\a_{12}&a_{22}-lambda end{vmatrix}}=0}

begin{vmatrix} a_{11} - lambda & a_{12} \ a_{12} & a_{22} - lambda end{vmatrix} = 0

или

λ2−Iλ+D=0.{displaystyle lambda ^{2}-Ilambda +D=0.}

lambda^2 - Ilambda + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы

(a11a12a12a22){displaystyle {begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{12}&a_{22}end{pmatrix}}}

begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{12} & a_{22} end{pmatrix}

и, как следствие этого, всегда вещественны.[3]

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Δ≠0.{displaystyle Delta neq 0.}

$Deltane0.$ Могут возникать следующие варианты:

Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если D≠0{displaystyle Dnot =0}
- эллипс — при условии D>0{displaystyle D>0} и Δ⋅I<0{displaystyle Delta cdot I<0} ;
  - частный случай эллипса — окружность — при условии I2=4D{displaystyle I^{2}=4D} $I^2=4D$ или a11=a22,a12=0;{displaystyle a_{11}=a_{22},a_{12}=0;} $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии D>0{displaystyle D>0} $D>0$ и Δ⋅I>0;{displaystyle Delta cdot I>0;} $Deltacdot I>0;$
- гипербола — при условии D<0;{displaystyle D<0;} $D<0;$
Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если D=0{displaystyle D=0}
- парабола — при условии D=0.{displaystyle D=0.} $D=0.$

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ=0{displaystyle Delta =0}

$Delta=0$ . Могут возникать следующие варианты:

вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D>0;{displaystyle D>0;} $D>0;$
пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D<0;{displaystyle D<0;} $D<0;$
выро
жденная парабола — при условии D=0:{displaystyle D=0:}
- пара вещественных параллельных прямых — при условии B<0;{displaystyle B<0;} $B<0;$
- одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B=0;{displaystyle B=0;} $B=0;$
- пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B>0.{displaystyle B>0.} $B>0.$

Диаметры и центр кривой второго порядка

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол θ{displaystyle theta }

$theta$ с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

(a11x+a12y+a13)cos⁡θ+(a12x+a22y+a23)sin⁡θ=0.{displaystyle left(a_{11}x+a_{12}y+a_{13}right)cos theta +left(a_{12}x+a_{22}y+a_{23}right)sin theta =0.}

$left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}right) costheta + left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}right) sintheta = 0.$

Если выполняется условие D≠0,{displaystyle Dneq 0,}

$Dne0,$ то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D=0{displaystyle D=0} $D=0$ ) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра (x0,y0){displaystyle left(x_{0},;y_{0}right)}

$left(x_0,;y_0right)$ определяются системой уравнений:

{a11x0+a12y0+a13=0a12x0+a22y0+a23=0{displaystyle {begin{cases}a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}=0\a_{12}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}=0end{cases}}}

$begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 end{cases}$

Решая эту систему относительно x0{displaystyle x_{0}}

$x_{0}$ и y0,{displaystyle y_{0},} $y_0,$ получим:

x0=−1D|a13a12a23a22|=a12a23−a13a22Dy0=−1D|a11a13a12a23|=a13a12−a11a23D(D≠0).{displaystyle {begin{aligned}x_{0}=-{frac {1}{D}}{begin{vmatrix}a_{13}&a_{12}\a_{23}&a_{22}end{vmatrix}}={frac {a_{12}a_{23}-a_{13}a_{22}}{D}}\y_{0}=-{frac {1}{D}}{begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\a_{12}&a_{23}end{vmatrix}}={frac {a_{13}a_{12}-a_{11}a_{23}}{D}}end{aligned}};;;(Dneq 0).}

$begin{align} x_0 = - frac{1}{D} begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \ a_{23} & a_{22} end{vmatrix} = frac{a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \ y_0 = - frac{1}{D} begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{12} & a_{23} end{vmatrix} = frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} end{align};;;(Dne0).$

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

a11x¯2+2a12x¯y¯+a22y¯2+ΔD=0,x¯=x−x0,y¯=y−y0,{displaystyle a_{11}{bar {x}}^{2}+2a_{12}{bar {x}}{bar {y}}+a_{22}{bar {y}}^{2}+{frac {Delta }{D}}=0,;;;{bar {x}}=x-x_{0},;;;{bar {y}}=y-y_{0},}

$a_{11} bar x^2 + 2a_{12} bar x bar y + a_{22} bar y^2 + frac{Delta}{D} = 0,;;;bar x = x - x_0,;;;bar y = y - y_0,$

где x¯,y¯{displaystyle {bar {x}},;{bar {y}}}

$bar x,;bar y$ — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая (D≠0){displaystyle left(Dneq 0right)}

$left(Dne0right)$ либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые (D=0){displaystyle left(D=0right)} $left(D=0right)$ имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

{(a11−λ)cos⁡θ+a12sin⁡θ=0a12cos⁡θ+(a22−λ)sin⁡θ=0,{displaystyle {begin{cases}left(a_{11}-lambda right)cos theta +a_{12}sin theta =0\a_{12}cos theta +left(a_{22}-lambda right)sin theta =0end{cases}},}

$begin{cases} left(a_{11} - lambdaright) cos theta + a_{12} sin theta = 0 \ a_{12} cos theta + left(a_{22} - lambdaright) sin theta = 0 end{cases},$

где λ{displaystyle lambda }

$lambda$ — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

tg⁡2ϕ=tg⁡2θ=2a12a11−a22.{displaystyle operatorname {tg} 2phi =operatorname {tg} 2theta ={frac {2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}}.}

$operatorname{tg}2phi = operatorname{tg}2theta = frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения

Общее уравнение в матричном виде

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

(xy1)(a11a12a13a12a22a23a13a23a33)(xy1)=0.{displaystyle {begin{pmatrix}x&y&1end{pmatrix}}{begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{12}&a_{22}&a_{23}\a_{13}&a_{23}&a_{33}end{pmatrix}}{begin{pmatrix}x\y\1end{pmatrix}}=0.}

begin{pmatrix} x & y & 1 end{pmatrix} begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{12} & a_{22} & a_{23} \ a_{13} & a_{23} & a_{33} end{pmatrix} begin{pmatrix} x \ y \ 1 end{pmatrix} = 0.

Канонический вид

Эта статья или раздел нуждается в переработке.Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты Δ,D,I{displaystyle Delta ,;D,;I}

$Delta,;D,;I$ исходного уравнения кривой и корни характеристического уравнения λ1⩾λ2{displaystyle lambda _{1}geqslant lambda _{2}} $lambda_1 geqslant lambda_2$ (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Вид кривой	Каноническое уравнение	Инварианты
Невырожденные кривые (Δ≠0{displaystyle Delta neq 0} $Deltane0$ )
Эллипс	x2a2+y2b2=1,{a2=−1λ2ΔD=−Δλ1λ22b2=−1λ1ΔD=−Δλ12λ2{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,;;{begin{cases}a^{2}=-{frac {1}{lambda _{2}}}{frac {Delta }{D}}=-{frac {Delta }{lambda _{1}lambda _{2}^{2}}}\b^{2}=-{frac {1}{lambda _{1}}}{frac {Delta }{D}}=-{frac {Delta }{lambda _{1}^{2}lambda _{2}}}end{cases}}} $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1,;; begin{cases} a^2 = - frac{1}{lambda_2}frac{Delta}{D} = -frac{Delta}{lambda_1lambda^2_2} \ b^2 = - frac{1}{lambda_1}frac{Delta}{D} = -frac{Delta}{lambda^2_1lambda_2} end{cases}$	Δ=−a4b4D=a2b2I=a2+b2{displaystyle {begin{array}{l}Delta =-a^{4}b^{4}\D=a^{2}b^{2}\I=a^{2}+b^{2}end{array}}} $begin{array}{l} Delta = -a^4b^4 \ D = a^2b^2 \ I = a^2+b^2 end{array}$
Гипербола	x2a2−y2b2=1,{a2=−1λ1ΔD=−Δλ12λ2b2=1λ2ΔD=Δλ1λ22{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,;;{begin{cases}a^{2}=-{frac {1}{lambda _{1}}}{frac {Delta }{D}}=-{frac {Delta }{lambda _{1}^{2}lambda _{2}}}\b^{2}={frac {1}{lambda _{2}}}{frac {Delta }{D}}={frac {Delta }{lambda _{1}lambda _{2}^{2}}}end{cases}}} $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1,;; begin{cases} a^2 = - frac{1}{lambda_1}frac{Delta}{D} = -frac{Delta}{lambda^2_1lambda_2} \ b^2 = frac{1}{lambda_2}frac{Delta}{D} = frac{Delta}{lambda_1lambda^2_2} end{cases}$	Δ=a4b4D=−a2b2I=b2−a2{displaystyle {begin{array}{l}Delta =a^{4}b^{4}\D=-a^{2}b^{2}\I=b^{2}-a^{2}end{array}}} $begin{array}{l} Delta = a^4b^4 \ D = -a^2b^2 \ I = b^2 - a^2 end{array}$
Парабола	y2=2px,p=1I−ΔI=1λ1−Δλ1>0,λ2=0{displaystyle y^{2}=2px,;;p={frac {1}{I}}{sqrt {-{frac {Delta }{I}}}}={frac {1}{lambda _{1}}}{sqrt {-{frac {Delta }{lambda _{1}}}}}>0,;;lambda _{2}=0} $y^2=2px,;; p=frac{1}{I}sqrt{-frac{Delta}{I}} = frac{1}{lambda_1}sqrt{-frac{Delta}{lambda_1}} > 0,;; lambda_2=0$	Δ=p2D=0I=1{displaystyle {begin{array}{l}Delta =p^{2}\D=0\I=1end{array}}} $begin{array}{l} Delta = p^2 \ D = 0 \ I = 1 end{array}$
Вырожденные кривые (Δ=0{displaystyle Delta =0} $Delta=0$ )
Две мнимые пересекающиеся прямые	x2a2+y2b2=0{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=0} $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=0$	Δ=0D=a2b2I=a2+b2{displaystyle {begin{array}{l}Delta =0\D=a^{2}b^{2}\I=a^{2}+b^{2}end{array}}} $begin{array}{l} Delta = 0 \ D = a^2b^2 \ I = a^2+b^2 end{array}$
Две пересекающиеся прямые	x2a2−y2b2=0{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}-{frac {y^{2}}{b^{2}}}=0} $frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=0$	Δ=0D=−a2b2I=b2−a2{displaystyle {begin{array}{l}Delta =0\D=-a^{2}b^{2}\I=b^{2}-a^{2}end{array}}} $begin{array}{l} Delta = 0 \ D = -a^2b^2 \ I = b^2 - a^2 end{array}$
Две параллельные прямые	x2a2=1{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}=1} $frac{x^2}{a^2}=1$	Δ=0D=0I=1{displaystyle {begin{array}{l}Delta =0\D=0\I=1end{array}}} $begin{array}{l} Delta = 0 \ D = 0 \ I = 1 end{array}$
Две совпадающие прямые	x2=0{displaystyle x^{2}=0} $x^2=0$	Δ=0D=0I=1{displaystyle {begin{array}{l}Delta =0\D=0\I=1end{array}}} $begin{array}{l} Delta = 0 \ D = 0 \ I = 1 end{array}$

Для центральной кривой в каноническом виде её центр (x0,y0){displaystyle left(x_{0},;y_{0}right)}

$left(x_0,;y_0right)$ находится в начале координат.

Через эксцентриситет

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

y2=2px−(1−ε2)x2 (p>0).{displaystyle y^{2}=
2px-(1-varepsilon ^{2})x^{2} (p>0).}

$y^2=2px-(1-varepsilon^2)x^2 (p>0).$

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых ε⩾0{displaystyle varepsilon geqslant 0}

$varepsilon geqslant 0$ (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при ε=0{displaystyle varepsilon =0} $varepsilon = 0$ кривая является окружностью, при ε<1{displaystyle varepsilon <1} $varepsilon < 1$ — эллипсом, при ε=1{displaystyle varepsilon =1} $varepsilon = 1$ — параболой, при ε>1{displaystyle varepsilon >1} $varepsilon > 1$ — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением x=−pε(1+ε),{displaystyle x=-{frac {p}{varepsilon left(1+varepsilon right)}},}

$x = - frac{p}{varepsilon left( 1 + varepsilon right)},$ а координаты фокуса x=p1+ε,y=0.{displaystyle x={frac {p}{1+varepsilon }},;;y=0.} $x=frac{p}{1+varepsilon}, ;; y = 0.$ Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно pε.{displaystyle {frac {p}{varepsilon }}.} $frac{p}{varepsilon}.$

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

x=p1−ε2=a{displaystyle x={frac {p}{1-varepsilon ^{2}}}=a}

$x = frac{p}{1 - varepsilon^2} = a$

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр p{displaystyle p}

$p$ называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты

Если взять в качестве полюса полярной системы координат (ρ,ϕ){displaystyle left(rho ,phi right)}

$left(rho,phiright)$ фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах ρ{displaystyle rho } $rho$ , ϕ{displaystyle phi } $phi$ уравнение кривой будет иметь вид

ρ=p1+εcos⁡ϕ.{displaystyle rho ={frac {p}{1+varepsilon cos phi }}.}

$rho=frac{p}{1 + varepsilon cos phi}.$

Кривая, заданная своими пятью точками

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки (x1,y1),{displaystyle left(x_{1},y_{1}right),}

$left( x_1, y_1 right),$ (x2,y2),{displaystyle left(x_{
2},y_{2}right),} $left( x_2, y_2 right),$ (x3,y3),{displaystyle left(x_{3},y_{3}right),} $left( x_3, y_3 right),$ (x4,y4){displaystyle left(x_{4},y_{4}right)} $left( x_4, y_4 right)$ и (x5,y5):{displaystyle left(x_{5},y_{5}right):} $left( x_5, y_5 right):$

|x2xyy2xy1x12x1y1y12x1y11x22x2y2y22x2y21x32x3y3y32x3y31x42x4y4y42x4y41x52x5y5y52x5y51|=0.{displaystyle {begin{vmatrix}x^{2}&xy&y^{2}&x&y&1\x_{1}^{2}&x_{1}y_{1}&y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\x_{2}^{2}&x_{2}y_{2}&y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\x_{3}^{2}&x_{3}y_{3}&y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\x_{4}^{2}&x_{4}y_{4}&y_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&1\x_{5}^{2}&x_{5}y_{5}&y_{5}^{2}&x_{5}&y_{5}&1end{vmatrix}}=0.}

$begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 end{vmatrix} = 0.$

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали

Уравнение касательной к кривой второго порядка f(x,y){displaystyle f(x,y)}

$f(x,y)$ в её точке (x1,y1){displaystyle left(x_{1},y_{1}right)} $left(x_1, y_1right)$ имеет вид:

(a11x1+a12y1+a13)x+(a12x1+a22y1+a23)y+(a13x1+a23y1+a33)=0.{displaystyle left(a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}right)x+left(a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}right)y+left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}right)=0.}

$left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}right) x + left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}right) y + left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}right) = 0.$

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке (x1,y1){displaystyle left(x_{1},y_{1}right)}

$left(x_1, y_1right)$ имеет вид

x−x1a11x1+a12y1+a13=y−y1a12x1+a22y1+a23.{displaystyle {frac {x-x_{1}}{a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}}}={frac {y-y_{1}}{a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}}}.}

${frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Полюсы и поляры

Уравнение

(a11x1+a12y1+a13)x+(a12x1+a22y1+a23)y+(a13x1+a23y1+a33)=0{displaystyle left(a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}right)x+left(a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}right)y+left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}right)=0}

left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}right) x + left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}right) y + left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}right) = 0

помимо касательной определяет прямую, называемую полярой точки (x1,y1){displaystyle left(x_{1},y_{1}right)}

$left(x_1, y_1right)$ относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка (x1,y1){displaystyle left(x_{1},y_{1}right)} $left(x_1, y_1right)$ называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:a:not(:hover){border-bottom:1px dotted;text-decoration:none}}]]>[источник не указан 3591 день]

Если прямая, проведённая через полюс P,{displaystyle P,} пересекает поляру в точке Q,{displaystyle Q,} $Q,$ а кривую второго порядка — в точках R1{displaystyle R_{1}} $R_{1}$ и R2,{displaystyle R_{2},} $R_2,$ то точки P{displaystyle P} $P$ и Q{displaystyle Q} $Q$ гармонически разделяют отрезок R1R2,{displaystyle R_{1}R_{2},} $R_1R_2,$ то есть выполняется условие
R1PPR2=−R1QQR2.{displaystyle {frac {R_{1}P}{PR_{2}}}=-{frac {R_{1}Q}{QR_{2}}}.} $frac{R_1P}{PR_2}=-frac{R_1Q}{QR_2}.$
Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой этого пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;
касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка

Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.
Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также

Ссылки

Общее уравнение кривой второго порядка
Кривые второго порядка (недоступная ссылка с 18-05-2013 [3666 дней])
Кривые второго порядка: гипербола, парабола

Литература

Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 64—69.

Примечания

↑ Б. А. Розенфельд, Аполлоний Пергский, М.: МЦНМО, 2004, c. 32.
↑ Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Menaechmus (англ.) — биография в архиве MacTutor.
↑ Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М.: Наука, 1978. — С. 64.

Для улучшения этой статьи желательно:

Добавить иллюстрации.

После исправления проблемы исключите её из списка. Удалите шаблон, если устранены все недостатки.