Координаты Борна

Разделы:

Координаты Борна в специальной теории относительности — система координат, применяемая для описания вращающейся окружности или (в более общем смысле) диска.

Содержание

1 Вращение окружности в специальной теории относительности
2 Вращение диска в специальной теории относительности
3 Определение расстояний и времён
- 3.1 Проблемы с вращающимися координатами
- 3.2 Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица
4 См. также
5 Примечания
6 Литература

Вращение окружности в специальной теории относительности

В неподвижной системе отсчёта окружность описывается двумя координатами (T,Φ){displaystyle (T,,Phi )}

$(T,,Phi )$ ,в которых метрика имеет вид:

ds2=dT2−R2dΦ2{displaystyle ds^{2}=dT^{2}-R^{2},dPhi ^{2}}

ds^{2}=dT^{2}-R^{2},dPhi ^{2}

(R{displaystyle R}

$R$ — радиус окружности, скорость света полагается равной единице).

Вращение окружности описывается формулой

Φ=φ+ωT{displaystyle Phi =varphi +omega T}

Phi =varphi +omega T

где Φ{displaystyle Phi
}

$Phi$ — угловая координата в пространстве, φ{displaystyle varphi } $varphi$ — положение точки на окружности, ω{displaystyle omega } $omega$ — круговая частота, а T — время неподвижной системы отсчёта.

Если мы рассмотрим одну точку окружности (то есть зафиксируем φ{displaystyle varphi }

$varphi$ ), то её мировая линия будут представлять собой винтовую линию.Собственное время точек окружности определяется как

1−ω2R2 T.{displaystyle {sqrt {1-omega ^{2}R^{2}}} T.}

{sqrt {1-omega ^{2}R^{2}}} T.

Координатами Борна на окружности называется система координат (T,φ){displaystyle (T,;varphi )}

$(T,;varphi )$ .Эти две координаты не являются ортогональными.

Метрика будет выглядеть как

ds2=(1−ω2R2)dT2−2ωR2dTdφ−R2dφ2.{displaystyle ds^{2}=left(1-omega ^{2},R^{2}right),dT^{2}-2,omega ,R^{2},dT,dvarphi -R^{2},dvarphi ^{2}.}

ds^{2}=left(1-omega ^{2},R^{2}right),dT^{2}-2,omega ,R^{2},dT,dvarphi -R^{2},dvarphi ^{2}.

Вращение диска в специальной теории относительности

Пространственно-временная геометрия координат Борна на диске. Красные кривые — мировые линии точек диска (фиксированы r,φ{displaystyle scriptstyle {r,;varphi }} $scriptstyle {r,;varphi }$ ). Чередующиеся синие и серые полосы показывают изменение T{displaystyle scriptstyle T} $scriptstyle T$ . Оранжевые кривые (/ ) — светоподобные кривые с постоянным r{displaystyle scriptstyle r} $scriptstyle r$ . Внизу справа — трёхмерное изображение. Сверху — развёртки цилиндров для трёх разных r{displaystyle scriptstyle r} $scriptstyle r$ , повёрнутые так, чтобы направление собственного времени стало вертикальным.Основная статья: Парадокс Эренфеста

Если рассмотреть равномерно вращающийся, как единое целое, диск (то есть круг), то добавляется третья координата: r{displaystyle r}

$r$ .

При этом ω{displaystyle omega }

$omega$ по-прежнему постоянно.

В таком случае множители бу
дут зависеть от радиуса r{displaystyle r}

$r$ .

Метрика будет выглядеть как

ds2=(1−ω2r2)dT2−2ωr2dTdφ−dr2−r2dφ2.{displaystyle ds^{2}=left(1-omega ^{2},r^{2}right),dT^{2}-2,omega ,r^{2},dT,dvarphi -dr^{2}-r^{2},dvarphi ^{2}.}

ds^{2}=left(1-omega ^{2},r^{2}right),dT^{2}-2,omega ,r^{2},dT,dvarphi -dr^{2}-r^{2},dvarphi ^{2}.

На рисунке видно, как с возрастанием r{displaystyle r}

$r$ и приближением линейной скорости вращения к световой система из двух координат (T,φ){displaystyle (T,;varphi )} $(T,;varphi )$ становятся всё менее похожа на ортогональную.

Скорость света относительно «времени» T{displaystyle T}

$T$ по ходу вращения уменьшается, а против вращения — возрастает.

Разумеется, радиус диска не может превосходить cω{displaystyle {frac {c}{omega }}}

${frac comega }$ , поскольку на этом удалении от оси вращения наша вращающаяся система отсчёта разгоняется до световой скорости.

Определение расстояний и времён

Проблемы с вращающимися координатами

Вращающаяся система отсчёта не является инерциальной и вызывает много проблем даже при поверхностном рассмотрении.

Как было показано, две координаты (T,φ){displaystyle (T,;varphi )}

$(T,;varphi )$ не ортогональны даже на одной окружности, причём это неустранимый недостаток — если мы синхронизуем время сразу по всей окружности с помощью скорости света, то система отсчёта не будет вращаться, а если отказаться от T{displaystyle T} $T$ , синхронизуя время лишь на куске окружности, то единая временная координата «не склеится»[1].На диске дело обстоит ещё хуже — часы не синхронизуются даже локально (см. эффект Саньяка).

К тому же, при исчислении собственного времени координату T{displaystyle T}

$T$ приходится умножать на коэффициент уже не постоянный (как на окружности), а переменный, зависящий от r{displaystyle r} $r$ . Диск, оставаясь твёрдым, имеет разную скорость течения времени в зависимости от расстояния до оси вращения.

Из-за проблем со временем не совсем понятно как определять расстояние — некоторые определения не приводят к симметричной функции расстояния между двумя точками диска.А не зная расстояний, мы не можем проверить, что диск вращается как твёрдое тело.

Метрика Ланжевена — Ландау — Лифшица

Тем не менее, оказывается возможным корректно определить расстояние на вращающемся диске в смысле римановой метрики.

То есть, естественная геометрия вращающегося диска не является евклидовой.

Этот раздел статьи ещё не написан. Здесь может располагатьс
я раздел, посвящённый строгому определению метрики на вращающемся диске. Помогите Википедии, написав его. (28 февраля 2015)

См. также

Координаты Риндлера

Примечания

↑ Строго говоря, из этого следует, что мы не можем идеально синхронизовать часы даже на всей поверхности Земли, так как планета вращается.Эффект разницы скорости света с востока на запад и с запада на восток относительно земного времени подтверждается сверхточными измерениями.

Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 4-е, исправленное и дополненное. — М.: Физматгиз, 1962. — 424 с. — («Теоретическая физика», том II).