Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
Две метрики на гладком многообразии называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция такая что . В этом случае тождественное отображение на индуцирует конформное отображение .
Свойства
Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.
Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если и — конформноэквивалентные метрические тензоры, то где и обозначают тензоры Вейля для и соответственно.
Для конформно-эквивалентых метрик
Связности связаны следующей формулой:
Кривизны связаны следующей формулой: если а обозначает Гессиан функции.
Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..