Конформное отображение

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
• Две метрики ${\displaystyle g,{\tilde {g}}}$  на гладком многообразии ${\displaystyle M}$  называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция ${\displaystyle \psi :M\to \mathbb {R} }$  такая что ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{\psi }g}$ . В этом случае тождественное отображение на ${\displaystyle M}$  индуцирует конформное отображение ${\displaystyle (M,g)\to (M,{\tilde {g}})}$ .

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;
• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
• Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
• Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  при ${\displaystyle n\geq 3}$  можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
• Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если ${\displaystyle {\tilde {g}}}$  и ${\displaystyle g}$  — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
      ${\displaystyle {\tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,}$ 
  где ${\displaystyle {\tilde {W}}}$  и ${\displaystyle W}$  обозначают тензоры Вейля для ${\displaystyle {\tilde {g}}}$  и ${\displaystyle g}$  соответственно.
• Для конформно-эквивалентых метрик ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\psi }g}$ 
  • Связности связаны следующей формулой:
       ${\displaystyle {\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+(X\psi )Y+(Y\psi )X-g(X,Y)\nabla \psi )}$ 
  • Кривизны связаны следующей формулой:
        ${\displaystyle g({\tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-}$ 
        ${\displaystyle -Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}}$ 
    если ${\displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0}$  а ${\displaystyle Hess_{\psi }}$  обозначает Гессиан функции ${\displaystyle \psi }$ .
  • Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
        ${\displaystyle {\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}K_{X,Y}-f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},}$ 
    где ${\displaystyle f=e^{-\psi }}$ .
  • При вычислении скалярной кривизны ${\displaystyle n}$ -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде ${\displaystyle {\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}g}$ . В этом случае:

    ${\displaystyle {\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta u\right)/u^{\frac {n+2}{n-2}}}$ 

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
• Инверсия — конформное отображение второго рода;
• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
• Стереографическая проекция.

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей^[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

• Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
• Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
• Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.

• Условия Коши — Римана
• Теорема Римана об отображении
• Теорема Шварца — Кристоффеля
• Диффеоморфизм

• Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.