Конформное отображение

Разделы:

Взаимно однозначное отображение области D на область D* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциал этого преобразования есть композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Содержание

1 Связанные определения
2 Свойства
3 Примеры
4 История
5 Применение
6 Литература
7 См. также
8 Ссылки

Связанные определения

Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .
Две метрики g,g~{displaystyle g,{tilde {g}}} $g,{tilde g}$ на гладком многообразии M{displaystyle M} $M$ называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция ψ:M→R{displaystyle psi :Mto mathbb {R} } $psi :Mto mathbb{R}$ такая что g~=eψg{displaystyle {tilde {g}}=e^{psi }g} ${tilde g}=e^{psi }g$ . В этом случае тождественное отображение на M{displaystyle M} $M$ индуцирует конформное отображение (M,g)→(M,g~){displaystyle (M,g)to (M,{tilde {g}})} $(M,g)to (M,{tilde g})$ .

Свойства

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;

Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
- Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости допускает конформную биекцию на единичный диск.
Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} $mathbb {R} ^{n}$ при n≥3{displaystyle ngeq 3} $ngeq 3$ можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.
Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если g~{displaystyle {tilde {g}}} ${tilde g}$ и g{displaystyle g} $g$ — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
W~(X,Y)Z=W(X,Y)Z,{displaystyle {tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,} ${tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$
где W~{displaystyle {tilde {W}}} ${tilde W}$ и W{displaystyle W} $W$ обозначают тензоры Вейля для g~{displaystyle {tilde {g}}} ${tilde g}$ и g{displaystyle g} $g$ соответственно.
Для конформно-эквивалентых метрик g~=e2ψg{displaystyle {tilde {g}}=e^{2psi }g}
- Связности связаны следующей формулой:
  ∇~XY=∇XY+(Xψ)Y+(Yψ)X−g(X,Y)∇ψ){displaystyle {tilde {nabla }}_{X}Y=nabla _{X}Y+(Xpsi )Y+(Ypsi )X-g(X,Y)nabla psi )} ${tilde nabla }_{X}Y=nabla _{X}Y+(Xpsi )Y+(Ypsi )X-g(X,Y)nabla psi )$
- Кривизны связаны следующей формулой:
  g(R~(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)−{displaystyle g({tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(
  X,Y)Y,X)-} $g({tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$
  −Hessψ(X,X)−Hessψ(Y,Y)−|∇ψ|2+(Yψ)2{displaystyle -Hess_{psi }(X,X)-Hess_{psi }(Y,Y)-|nabla psi |^{2}+(Ypsi )^{2}} $-Hess_{psi }(X,X)-Hess_{psi }(Y,Y)-|nabla psi |^{2}+(Ypsi )^{2}$
  если g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xψ=0{displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xpsi =0} $g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xpsi =0$ а Hessψ{displaystyle Hess_{psi }} $Hess_{psi }$ обозначает Гессиан функции ψ{displaystyle psi } $psi$ .
- Формулу для секционных кривизн можно записать в следующем виде:
  K~X,Y=f2KX,Y−f⋅[Hessf(X,X)+Hessf(Y,Y)]−|∇f|2,{displaystyle {tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}K_{X,Y}-f{cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|nabla f|^{2},} ${tilde K}_{{X,Y}}=f^{2}K_{{X,Y}}-f{cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|nabla f|^{2},$
  где f=e−ψ{displaystyle f=e^{-psi }} $f=e^{{-psi }}$ .
- При вычислении скалярной кривизны n{displaystyle n} $n$ -мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде g~=u4n−2g{displaystyle {tilde {g}}=u^{tfrac {4}{n-2}}g} ${tilde g}=u^{{{tfrac 4{n-2}}}}g$ . В этом случае:
  
  Sc~=(Sc−4(n−1)n−2Δu)/un+2n−2{displaystyle {tilde {Sc}}=left({Sc}-{frac {4(n-1)}{n-2}}Delta uright)/u^{frac {n+2}{n-2}}} ${tilde {Sc}}=left({Sc}-{frac {4(n-1)}{n-2}}Delta uright)/u^{{{frac {n+2}{n-2}}}}$

Примеры

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;
Инверсия — конформное отображение второго рода;
Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;
Стереографическая проекция.

История

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература

Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;
Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..
Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.
Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.

См. также

Ссылки

Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.

↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) // Archiv ftir Elektrotechnik. — 1923. — Bd. 12. — S. 1-15. — doi:10.1007/BF01656573.