Конус

Разделы:

Ко́нус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

прямой круговой конус прямой и косой круговые конусы с равным основанием и высотой: они обладают одинаковым объёмом усечённый прямой круговой конусВ родственных проектах

У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения).

Содержание

1 Связанные определения
2 Типы конусов
3 Свойства
4 Уравнение прямого кругового конуса
5 Развёртка
6 Вариации и обобщения
7 См. также
8 Примечания
9 Литература

Связанные определения

Образующая конуса — отрезок, соединяющий вершину и границу основания.
Образующая (или боковая) поверхность конуса — объединение образующих конуса; образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Высота конуса — отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка).
Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конусность — соотношение высоты и диаметра основания конуса.

Типы конусов

Прямой конус — конус, основание которого имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром; при этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
Косой (или наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
Конус вращения, или прямой круговой конус (часто под конусом подразумевают именно его) — конус, который можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом: последние два имеют бесконечный объём.
Усечённый конус или конический слой — часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием.
Равносторонний конус — конус вращения, образующая которого равна диаметру основания. [2]

Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.

V=13SH,{displaystyle V={1 over 3}SH,}

V={1 over 3}SH,

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты
равны.

Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

2π(1−cos⁡α2),{displaystyle 2pi left(1-cos {alpha over 2}right),}

2pi left(1-cos {alpha over 2}right),

где α — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

S=πRl,{displaystyle S=pi Rl,}

S=pi Rl,

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания)

S=πR(l+R),{displaystyle S=pi R(l+R),}

S=pi R(l+R),

где R — радиус основания, l=R2+H2{displaystyle l={sqrt {R^{2}+H^{2}}}}

{displaystyle l={sqrt {R^{2}+H^{2}}}}

— длина образующей.

Объём кругового (не обязательно прямого) конуса равен

V=13πR2H.{displaystyle V={1 over 3}pi R^{2}H.}

V={1 over 3}pi R^{2}H.

Для усечённого кругового конуса (не обязательно прямого) объём равен:

V=13πH(R2+Rr+r2),{displaystyle V={1 over 3}pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}

{displaystyle V={1 over 3}pi H(R^{2}+Rr+r^{2}),}

где R{displaystyle R}

R

и r{displaystyle r}

r

— радиусы соответственно нижнего и верхнего оснований, H{displaystyle H}

H

— высота от плоскости нижнего основания,до верхнего основания.

Для произвольного усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

V=13(H2S2−H1S1),{displaystyle V={1 over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}

{displaystyle V={1 over 3}(H_{2}S_{2}-H_{1}S_{1}),}

где S1{displaystyle S_{1}}

S_{1}

и S2{displaystyle S_{2}}

S_{2}

— площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, H1{displaystyle H_{1}}

H_1

и H2{displaystyle H_{2}}

H_2

— расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Уравнение прямого кругового конуса

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора 2Θ, вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

В сферической системе координат с координатами (r, φ, θ):

θ=Θ.{displaystyle theta =Theta .}

theta =Theta .

В цилиндрической системе координат с координатами (r, φ, z):

z=r⋅ctg⁡Θ{displaystyle z=rcdot operatorname {ctg} Theta }

z=rcdot operatorname {ctg}Theta

или r=z⋅tg⁡Θ.{displaystyle r=zcdot operatorname {tg} Theta .}

r=zcdot operatorname {tg}Theta .

В декартовой системе координат с координатами (x, y, z):

z=±x2+y2⋅ctg⁡Θ.{displaystyle z=pm {sqrt {x^{2}+y^{2}}}cdot operatorname {ctg} Theta .}

z=pm {sqrt {x^{2}+y^{2}}}cdot operatorname {ctg}Theta .

Это уравнение в каноническом виде записывается как

x2a2+y2a2−z2c2=0,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

{frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{a^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,

где константы a, с определяются пропорцией c/a=cos⁡Θ/sin⁡Θ.{displaystyle c/a=cos Theta /sin Theta .}

c/a=cos Theta /sin Theta .

Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

x2a2+y2b2−z2c2=0,{displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,}

{frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}-{frac {z^{2}}{c^{2}}}=0,

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0,{displaystyle f(x,y,z)=0,}

f(x,y,z)=0,

где функция f(x,y,z){displaystyle f(x,y,z)}

f(x,y,z)

является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(αx,αy,αz)=αnf(x,y,z){displaystyle f(alpha x,alpha y,alpha z)=alpha ^{n}f(x,y,z)}

f(alpha x,alpha y,alpha z)=alpha ^{n}f(x,y,z)

для любого действительного числа α.

Развёртка

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора φ{displaystyle varphi }

$varphi$ в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения

В алгебраической геометрии конус — это произвольное подмножество K{displaystyle K} $K$ векторного пространства V{displaystyle V} $V$ над полем F{displaystyle F} $F$ , для которого для любого λ∈F{displaystyle lambda in F} $lambda in F$

λK=K.{displaystyle lambda K=K.} $lambda K=K.$
В топологии конус над топологическим пространством X есть факторпространство X×[0,∞){displaystyle Xtimes [0,infty )} $Xtimes [0,infty )$ по отношению эквивалентности (x,0)∼(y,0).{displaystyle (x,0)sim (y,0).} ${displaystyle (x,0)sim (y,0).}$

См. также

Примечания

Литература

Статья И. М. Виноградов. Конус // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985. в Математической энциклопедии.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973.