Конечная геометрия

Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неогрниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует действительных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.

Конечные геометрии могут описываться линейной алгеброй, как векторные пространства и подобные структуры над конечным полем, которые называются геометриями Галуа, или могут описываться полностью комбинаторно. Многие, но не все, конечные геометрии являются геометриями Галуа, — например, любое проективное пространство размерностью три или более является изоморфным проективному пространству над конечным полем (проективизация векторного поля над конечным полем), и в этом случае различий нет, но в размерности два существуют комбинаторно определённые проективные плоскости, которые не являются изоморфными к проективным пространствам над конечными полями, и названы недезарговыми плоскостями, поэтому в этом случае различия имеются.

Конечные плоскости

Следующие замечания касаются только конечных плоскостей.

Существуют два вида геометрии на плоскости: аффинная и проективная. В аффинной геометрии используется обычное понятие параллельности прямых. В проективной геометрии наоборот, любые две прямые пересекаются в единственно возможной точке, и потому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная геометрия на плоскости, так и конечная проективная геометрия на плоскости могут быть описаны достаточно простыми аксиомами. Аффинная геометрия на плоскости - это непустое множество   (элементы которого называются "точками"), с непустым набором   подмножеств   (элементы которого называются "прямая"), таких, что:

  1. Для двух различных точек существует только одна прямая, которая содержит обе точки.
  2. Аксиома параллельности Евклида: Для прямой   и точки  , не принадлежащей  , существует одна и только одна прямая  , содержащая  , такая, что  
  3. Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.

Последняя аксиома обеспечивает, что геометрия не пуста, тогда как первые две описывают её природу.

Простейшая аффинная плоскость содержит лишь 4 точки, и называется аффинной плоскостью второго порядка. Каждая пара точек определяет уникальную прямую, поэтому указанная плоскость содержит 6 прямых. Это аналогично тетраэдру, у которого непересекающиеся рёбра рассматриваются как "параллельные", или квадрату, у которого параллельными считаются не только противоположные стороны, но и диагонали также рассматриваются как параллельные.

 
Рисунок конечной аффинной плоскости, которая содержит 4 точки и 6 прямых. "Прямые" одинакового цвета являются "параллельными"

Порядки плоскостей

См. также

Литература

Картеси Ф. Введение в конечные геометрии

Ссылки