Конечная геометрия — это любая геометрическая система, имеющая конечное количество точек. Например, евклидова геометрия не является конечной, так как евклидова прямая содержит неогрниченное число точек, а точнее говоря, содержит ровно столько точек, сколько существует действительных чисел. Конечная геометрия может иметь любое конечное число измерений.
Конечные геометрии могут описываться линейной алгеброй, как векторные пространства и подобные структуры над конечным полем, которые называются геометриями Галуа, или могут описываться полностью комбинаторно. Многие, но не все, конечные геометрии являются геометриями Галуа, — например, любое проективное пространство размерностью три или более является изоморфным проективному пространству над конечным полем (проективизация векторного поля над конечным полем), и в этом случае различий нет, но в размерности два существуют комбинаторно определённые проективные плоскости, которые не являются изоморфными к проективным пространствам над конечными полями, и названы недезарговыми плоскостями, поэтому в этом случае различия имеются.
Содержание
Конечные плоскости
Следующие замечания касаются только конечных плоскостей.
Существуют два вида геометрии на плоскости: аффинная и проективная. В аффинной геометрии используется обычное понятие параллельности прямых. В проективной геометрии наоборот, любые две прямые пересекаются в единственно возможной точке, и потому параллельных прямых не существует. Как конечная аффинная геометрия на плоскости, так и конечная проективная геометрия на плоскости могут быть описаны достаточно простыми аксиомами.Аффинная геометрия на плоскости — это непустое множество X{displaystyle X}
(элементы которого называются «точками»), с непустым набором L{displaystyle L} подмножеств X{displaystyle X} (элементы которого называются «прямая»), таких, что:
(элементы которого называются «точками»), с непустым набором L{displaystyle L}
подмножеств X{displaystyle X}- Для двух различных точек существует только одна прямая, которая содержит обе точки.
- Аксиома параллельности Евклида: Для прямой ℓ{displaystyle ell } и точки p{displaystyle p} , не принадлежащей ℓ{displaystyle ell } , существует одна и только одна прямая ℓ′{displaystyle ell ‘} , содержащая p{displaystyle p} , такая, что ℓ∩ℓ′=∅.{displaystyle ell cap ell ‘=varnothing .}
- Существует множество из четырёх точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
и точки p{displaystyle p}
, не принадлежащей ℓ{displaystyle ell }
, содержащая p{displaystyle p}
Последняя аксиома обеспечивает, что геометрия не пуста, тогда как первые две описывают её природу.
Простейшая аффинная плоскость содержит лишь 4 точки, и называется аффинной плоскостью второго порядка. Каждая пара точек определяет уникальную прямую, поэтому указанная плоскость содержит 6 прямых. Это аналогично тетраэдру, у которого непересекающиеся рёбра рассматриваются как «параллельные», или квадрату, у которого параллельными считаются не только противоположные стороны, но и диагонали также рассматриваются как параллельные.
Рисунок конечной аффинной плоскости, которая содержит 4 точки и 6 прямых. «Прямые» одинакового цвета являются «параллельными»
Порядки плоскостей
См. также
Литература
Картеси Ф. Введение в конечные геометрии
Ссылки
- Weisstein, Eric W. finite geometry (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg
- Finite geometry (Script)
- Finite Geometry Resources
- J. W. P. Hirschfeld, researcher on finite geometries
- AMS Column: Finite Geometries?
- Galois Geometry and Generalized Polygons, intensive course in 1998
- Carnahan, Scott (2007-10-27), Small finite sets, <http://sbseminar.wordpress.com/2007/10/27/small-finite-sets/>
