wiki

Композиция функций

Разделы:

В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций G{displaystyle G} $G$ и F{displaystyle F} $F$ обычно обозначается G∘F{displaystyle Gcirc F} $Gcirc F$ , что обозначает применение функции G{displaystyle G} $G$ к результату функции F{displaystyle F} $F$ .

Table of Contents

Определение

Пусть F:X→Y{displaystyle F:Xto Y}

$F:Xto Y$ и G:F(X)⊂Y→Z{displaystyle G:F(X)subset Yto Z} $G:F(X)subset Yto Z$ две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z{displaystyle Gcirc F:Xto Z} $Gcirc F:Xto Z$ , определённая равенством:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X{displaystyle (Gcirc F)(x)=G(F(x)),;xin X}

(Gcirc F)(x)=G(F(x)),;xin X

Связанные определения

Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию G{displaystyle G} $G$ вида

G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)){displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))} $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))$ , потому что она представляет собой функцию F{displaystyle F} $F$ , которой на вход подаются результаты функций u{displaystyle u} $u$ и v{displaystyle v} $v$ .

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

(H∘G)∘F=H∘(G∘F){displaystyle (Hcirc G)circ F=Hcirc (Gcirc F)} $(Hcirc G)circ F=Hcirc (Gcirc F)$ .
Если F=idX{displaystyle F=mathrm {id} _{X}} $F={mathrm {id}}_{X}$ — тождественное отображение на X{displaystyle X} $X$ , то есть

F(x)=idX(x)=x,∀x∈X{displaystyle F(x)=mathrm {id} _{X}(x)=x,;forall xin X} $F(x)={mathrm {id}}_{X}(x)=x,;forall xin X$ ,

то

G∘idX=G{displaystyle Gcirc mathrm {id} _{X}=G}

Gcirc {mathrm {id}}_{X}=G

Если G=idY{displaystyle G=mathrm {id} _{Y}} $G={mathrm {id}}_{Y}$ — тождественное отображение на Y{displaystyle Y} $Y$ , то есть

G(y)=idY(y)=y,∀y∈Y{displaystyle G(y)=mathrm {id} _{Y}(y)=y,;forall yin Y} $G(y)={mathrm {id}}_{Y}(y)=y,;forall yin Y$ ,

то

idY∘F=F{displaystyle mathrm {id} _{Y}circ F=F}

{mathrm {id}}_{Y}circ F=F

Рассмотрим пространство всех биекций множества X{displaystyle X} на себя и обозначим его FX{displaystyle {mathcal {F}}_{X}} . То есть если F∈FX{displaystyle Fin {mathcal {F}}_{X}} , то F:X→X{displaystyle F:Xto X} — биекция. Тогда композиция функций из FX{displaystyle {mathcal {F}}_{X}} является бинарной операцией, а (FX,∘){displaystyle ({mathcal {F}}_{X},circ )} — группой. idX{displaystyle mathrm {id} _{X}} является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу F∈FX{displaystyle Fin {mathcal {F}}_{X}} является F−1∈FX{displaystyle F^{-1}in {mathcal {F}}_{X}} — обратная функция.
- Группа (FX,∘){displaystyle ({mathcal {F}}_{X},circ )} $({mathcal {F}}_{X},circ )$ , вообще говоря, не коммутативна, то есть F1∘F2≠F2∘F1{displaystyle F_{1}circ F_{2}not =F_{2}circ F_{1}} $F_{1}circ F_{2}not =F_{2}circ F_{1}$ .

Дополнительные свойства

Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть (X,TX),(Y,TY),(Z,TZ){displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X}),(Y,{mathcal {T}}_{Y}),(Z,{mathcal {T}}_{Z})} $(X,{mathcal {T}}_{X}),(Y,{mathcal {T}}_{Y}),(Z,{mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} $f:X to Y$ и g:f(X)⊂Y→Z{displaystyle g:f(X)subset Yto Z} $g:f(X)subset Yto Z$ две функции, y0=f(x0),f∈C(x0),g∈C(y0){displaystyle y_{0}=f(x_{0}),;fin C(x_{0}),;gin C(y_{0})} $y_{0}=f(x_{0}),;fin C(x_{0}),;gin C(y_{0})$ . Тогда g∘f∈C(x0){displaystyle gcirc fin C(x_{0})} $gcirc fin C(x_{0})$ .

Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть f,g:∈R→R,y0=f(x0),f∈D(x0),g∈D(y0){displaystyle f,g:in mathbb {R} to mathbb {R} ,;y_{0}=f(x_{0}),;fin {mathcal {D}}(x_{0}),;gin {mathcal {D}}(y_{0})} $f,g:in {mathbb {R}}to {mathbb {R}},;y_{0}=f(x_{0}),;fin {mathcal {D}}(x_{0}),;gin {mathcal {D}}(y_{0})$ . Тогда g∘f∈D(x0){displaystyle gcirc fin {mathcal {D}}(x_{0})} $gcirc fin {mathcal {D}}(x_{0})$ , и

(g∘f)′(x0)=g′(y0)⋅f′(x0){displaystyle (gcirc f)'(x_{0})=g'(y_{0})cdot f'(x_{0})}

(gcirc f)'(x_{0})=g'(y_{0})cdot f'(x_{0})