Определение
Связанные определения
Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию
G
{\displaystyle G}
вида
G
(
x
,
y
)
=
F
(
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))}
, потому что она представляет собой функцию
F
{\displaystyle F}
, которой на вход подаются результаты функций
u
{\displaystyle u}
и
v
{\displaystyle v}
.
Свойства композиции
Композиция ассоциативна :
(
H
∘
G
)
∘
F
=
H
∘
(
G
∘
F
)
{\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}
.
Если
F
=
i
d
X
{\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}
— тождественное отображение на
X
{\displaystyle X}
, то есть
F
(
x
)
=
i
d
X
(
x
)
=
x
,
∀
x
∈
X
{\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X}
, то
G
∘
i
d
X
=
G
{\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G}
. Если
G
=
i
d
Y
{\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}
— тождественное отображение на
Y
{\displaystyle Y}
, то есть
G
(
y
)
=
i
d
Y
(
y
)
=
y
,
∀
y
∈
Y
{\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y}
, то
i
d
Y
∘
F
=
F
{\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}
. Рассмотрим пространство всех биекций множества
X
{\displaystyle X}
на себя и обозначим его
F
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}
. То есть если
F
∈
F
X
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}
, то
F
:
X
→
X
{\displaystyle F:X\to X}
— биекция. Тогда композиция функций из
F
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}
является бинарной операцией , а
(
F
X
,
∘
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}
— группой .
i
d
X
{\displaystyle \mathrm {id} _{X}}
является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу
F
∈
F
X
{\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}
является
F
−
1
∈
F
X
{\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}
— обратная функция .
Группа
(
F
X
,
∘
)
{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}
, вообще говоря, не коммутативна , то есть
F
1
∘
F
2
≠
F
2
∘
F
1
{\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}}
.
Дополнительные свойства
Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть
(
X
,
T
X
)
,
(
Y
,
T
Y
)
,
(
Z
,
T
Z
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}
— топологические пространства . Пусть
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f:X\to Y}
и
g
:
f
(
X
)
⊂
Y
→
Z
{\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}
две функции,
y
0
=
f
(
x
0
)
,
f
∈
C
(
x
0
)
,
g
∈
C
(
y
0
)
{\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),\;f\in C(x_{0}),\;g\in C(y_{0})}
. Тогда
g
∘
f
∈
C
(
x
0
)
{\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}
. Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть
f
,
g
:∈
R
→
R
,
y
0
=
f
(
x
0
)
,
f
∈
D
(
x
0
)
,
g
∈
D
(
y
0
)
{\displaystyle f,g:\in \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y_{0}=f(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}
. Тогда
g
∘
f
∈
D
(
x
0
)
{\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}
, и
(
g
∘
f
)
′
(
x
0
)
=
g
′
(
y
0
)
⋅
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}
.