Композиция функций

В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций и обычно обозначается , что обозначает применение функции к результату функции .

Определение

Пусть   и   две функции. Тогда их композицией называется функция  , определённая равенством:

 .

Связанные определения

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию   вида
     , потому что она представляет собой функцию  , которой на вход подаются результаты функций   и  .

Свойства композиции

  • Композиция ассоциативна:
     .
  • Если  тождественное отображение на  , то есть
     ,
то
 .
  • Если   — тождественное отображение на  , то есть
     ,
то
 .
  • Рассмотрим пространство всех биекций множества   на себя и обозначим его  . То есть если  , то   — биекция. Тогда композиция функций из   является бинарной операцией, а  группой.   является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу   является  обратная функция.
    • Группа  , вообще говоря, не коммутативна, то есть  .

Дополнительные свойства

  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть  топологические пространства. Пусть   и   две функции,  . Тогда  .
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть  . Тогда  , и
 .