Композиция функций

Пусть ${\displaystyle F:X\to Y}$  и ${\displaystyle G:F(X)\subset Y\to Z}$  две функции. Тогда их композицией называется функция ${\displaystyle G\circ F:X\to Z}$ , определённая равенством:

${\displaystyle (G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X}$ .

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию ${\displaystyle G}$  вида

  ${\displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))}$ , потому что она представляет собой функцию ${\displaystyle F}$ , которой на вход подаются результаты функций ${\displaystyle u}$  и ${\displaystyle v}$ .

• Композиция ассоциативна:

  ${\displaystyle (H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F)}$ .

• Если ${\displaystyle F=\mathrm {id} _{X}}$  — тождественное отображение на ${\displaystyle X}$ , то есть

  ${\displaystyle F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X}$ ,

то

${\displaystyle G\circ \mathrm {id} _{X}=G}$ .

• Если ${\displaystyle G=\mathrm {id} _{Y}}$  — тождественное отображение на ${\displaystyle Y}$ , то есть

  ${\displaystyle G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y}$ ,

то

${\displaystyle \mathrm {id} _{Y}\circ F=F}$ .

• Рассмотрим пространство всех биекций множества ${\displaystyle X}$  на себя и обозначим его ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$ . То есть если ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$ , то ${\displaystyle F:X\to X}$  — биекция. Тогда композиция функций из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}}$  является бинарной операцией, а ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$  — группой. ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$  является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}_{X}}$  является ${\displaystyle F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}}$  — обратная функция.
  • Группа ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{X},\circ )}$ , вообще говоря, не коммутативна, то есть ${\displaystyle F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}}$ .

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})}$  — топологические пространства. Пусть ${\displaystyle f:X\to Y}$  и ${\displaystyle g:f(X)\subset Y\to Z}$  две функции, ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),\;f\in C(x_{0}),\;g\in C(y_{0})}$ . Тогда ${\displaystyle g\circ f\in C(x_{0})}$ .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть ${\displaystyle f,g:\in \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;y_{0}=f(x_{0}),\;f\in {\mathcal {D}}(x_{0}),\;g\in {\mathcal {D}}(y_{0})}$ . Тогда ${\displaystyle g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})}$ , и

${\displaystyle (g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})}$ .