Композиция функций

• Разделы:
  • Связанные определения
  • Свойства композиции
  • Дополнительные свойства

В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций G{displaystyle G} и F{displaystyle F} обычно обозначается G∘F{displaystyle Gcirc F}, что обозначает применение функции G{displaystyle G} к результату функции F{displaystyle F}.

Содержание

• 1 Определение
• 2 Связанные определения
• 3 Свойства композиции
• 4 Дополнительные свойства

Определение

Пусть F:X→Y{displaystyle F:Xto Y}

  и G:F(X)⊂Y→Z{displaystyle G:F(X)subset Yto Z}  две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z{displaystyle Gcirc F:Xto Z} , определённая равенством:

(G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X{displaystyle (Gcirc F)(x)=G(F(x)),;xin X} .

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию G{displaystyle G}  вида

  G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)){displaystyle G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y))} , потому что она представляет собой функцию F{displaystyle F} , которой на вход подаются результаты функций u{displaystyle u}  и v{displaystyle v} .

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  (H∘G)∘F=H∘(G∘F){displaystyle (Hcirc G)circ F=Hcirc (Gcirc F)} .

• Если F=idX{displaystyle F=mathrm {id} _{X}}  — тождественное отображение на X{displaystyle X} , то есть

  F(x)=idX(x)=x,∀x∈X{displaystyle F(x)=mathrm {id} _{X}(x)=x,;forall xin X} ,

то

G∘idX=G{displaystyle Gcirc mathrm {id} _{X}=G} .

• Если G=idY{displaystyle G=mathrm {id} _{Y}}  — тождественное отображение на Y{displaystyle Y} , то есть

  G(y)=idY(y)=y,∀y∈Y{displaystyle G(y)=mathrm {id} _{Y}(y)=y,;forall yin Y} ,

то

idY∘F=F{displaystyle mathrm {id} _{Y}circ F=F} .

• Рассмотрим пространство всех биекций множества X{displaystyle X}  на себя и обозначим его FX{displaystyle {mathcal {F}}_{X}} . То есть если F∈FX{displaystyle Fin {mathcal {F}}_{X}} , то F:X→X{displaystyle F:Xto X}  — биекция. Тогда композиция функций из FX{displaystyle {mathcal {F}}_{X}}  является бинарной операцией, а (FX,∘){displaystyle ({mathcal {F}}_{X},circ )}  — группой. idX{displaystyle mathrm {id} _{X}}  является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу F∈FX{displaystyle Fin {mathcal {F}}_{X}}  является F−1∈FX{displaystyle F^{-1}in {mathcal {F}}_{X}}  — обратная функция.
  • Группа (FX,∘){displaystyle ({mathcal {F}}_{X},circ )} , вообще говоря, не коммутативна, то есть F1∘F2≠F2∘F1{displaystyle F_{1}circ F_{2}not =F_{2}circ F_{1}} .

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть (X,TX),(Y,TY),(Z,TZ){displaystyle (X,{mathcal {T}}_{X}),(Y,{mathcal {T}}_{Y}),(Z,{mathcal {T}}_{Z})}  — топологические пространства. Пусть f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}  и g:f(X)⊂Y→Z{displaystyle g:f(X)subset Yto Z}  две функции, y0=f(x0),f∈C(x0),g∈C(y0){displaystyle y_{0}=f(x_{0}),;fin C(x_{0}),;gin C(y_{0})} . Тогда g∘f∈C(x0){displaystyle gcirc fin C(x_{0})} .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть f,g:∈R→R,y0=f(x0),f∈D(x0),g∈D(y0){displaystyle f,g:in mathbb {R} to mathbb {R} ,;y_{0}=f(x_{0}),;fin {mathcal {D}}(x_{0}),;gin {mathcal {D}}(y_{0})} . Тогда g∘f∈D(x0){displaystyle gcirc fin {mathcal {D}}(x_{0})} , и

(g∘f)′(x0)=g′(y0)⋅f′(x0){displaystyle (gcirc f)'(x_{0})=g'(y_{0})cdot f'(x_{0})} .