Комплексное многообразие

• Разделы:
  • Литература

Компле́ксное многообразие — хаусдорфово топологическое пространство, покрытое открытыми множествами, каждое из которых гомеоморфно области в n{displaystyle n}-мерном комплексном пространстве Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}. При этом в пересечении двух открытых множеств преобразование локальных координат ωi=ui(z1,…,zn){displaystyle omega ^{i}=u^{i}(z^{1},…,z^{n})} является комплексно-аналитическим. То есть функции ui{displaystyle u^{i}} являются голоморфными, а функциональный определитель не обращается в ноль[1]:

∂(ω1,…,ωn)∂(z1,…,zn)≠0{displaystyle {frac {partial (omega ^{1},dots ,omega ^{n})}{partial (z^{1},…,z^{n})}}neq 0}.

Набор таких открытых множеств называется голоморфным атласом многообразия.

Примеры комплексных многообразий:

• Ориентированная двумерная поверхность.
• Комплексное n{displaystyle n}-мерное векторное пространство Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}}.
• Комплексное проективное пространство CPn{displaystyle mathbb {C} P^{n}}[2]. В частности, CP1{displaystyle mathbb {C} P^{1}} диффеоморфно двумерной сфере.
• Комплексная эллиптическая кривая. Диффеоморфна двумерному тору S1×S1{displaystyle mathbb {S} ^{1}times mathbb {S} ^{1}}

Эрмитова метрика на комплексном многообразии — аналог римановой метрики для вещественного многообразия, положительно определённая эрмитова форма вида

ds2=∑j,khjk¯dzjdzk¯{displaystyle ds^{2}=sum _{j,k}h_{j{overline {k}}}dz^{j}d{overline {z^{k}}}},

где hjk¯=hj¯k{displaystyle h_{j{overline {k}}}=h_{{overline {j}}k}} — комплексные функции[3].

См. также:
Многообразие (значения)

Примечания

1. ↑ Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия  (неопр.). Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера (Сибирское отделение Российской Академии наук) (1961). — «с. 9». Дата обращения: 25 марта 2016. Архивировано из оригинала 12 апреля 2016 года.
2. ↑ Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия  (неопр.). Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера (Сибирское отделение Российской Академии наук) (1961). — «с. 10-11». Дата обращения: 25 марта 2016. Архивировано из оригинала 12 апреля 2016 года.
3. ↑ Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия  (неопр.). Институт космофизических исследований и аэрономии им. Ю.Г. Шафера (Сибирское отделение Российской Академии наук) (1961). — «с. 23». Дата обращения: 25 марта 2016. Архивировано из оригинала 12 апреля 2016 года.

Литература

• Чжэнь Шэн-шэнь. Комплексные многообразия. — М.: ИЛ, 1961. — 239 с.