Комплексная плоскость

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$  точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$  называется множество вида ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0}$ . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности ${\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}}$ .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на ${\displaystyle \mathbb {C} }$  полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$  будет предельной для множества ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ , если для произвольной окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$  пересечение ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$  будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается ${\displaystyle G'}$ .

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  будет называться замкнутым, если для него справедливо включение ${\displaystyle G'\subset G}$ . Ясно видно, что для произвольного множества ${\displaystyle G}$  множество ${\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G'}$  будет замкнуто; оно называется замыканием множества ${\displaystyle G}$ .

Граница

Точка ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$  будет называться граничной для множества ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ , если для произвольной окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$  пересечения ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G}$  и ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)}$  будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством ${\displaystyle \partial G}$  или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество ${\displaystyle E\subset \mathbb {C} }$  будет называться всюду плотным в ином множестве ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ , если для произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$  и любой окрестности ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}}$  пересечение ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E}$  непусто.

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой ${\displaystyle z_{0}}$  и некоторым множеством ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  как величину ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|}$ .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ : ${\displaystyle \mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})}$ .

Связность

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  называется связным, если для него выполнено соотношение ${\displaystyle \inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0}$ . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество ${\displaystyle G}$  можно представить в виде объединения (конечного или счетного) ${\displaystyle \sum G_{n}}$ , где ${\displaystyle G_{n}}$  — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества ${\displaystyle G}$ . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  называется звездным относительно точки ${\displaystyle z_{0}\in G}$ , если для произвольной точки ${\displaystyle z\in G}$  выполняется включение ${\displaystyle {\overline {z_{0}z}}\subset G}$ .

Множество ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$  называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество ${\displaystyle G^{*}}$  называется выпуклой оболочкой множества ${\displaystyle G}$ , если оно выпукло, ${\displaystyle G\subset G^{*}}$  и для любого выпуклого множества ${\displaystyle G^{**}}$ , содержащего множество ${\displaystyle G}$  выполняется включение ${\displaystyle G^{*}\subset G^{**}}$ .

Ломаной ${\displaystyle \Gamma }$  называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество ${\displaystyle G}$  называется линейно связным, если для двух произвольных точек ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in G}$  существует ломаная ${\displaystyle \Gamma \subset G}$  такая, что выполняется ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \Gamma }$ .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$  называется отображение вида ${\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$ . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции ${\displaystyle \varphi (t)}$ , но и её направление. Для примера, функции ${\displaystyle \varphi (t)}$  и ${\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)}$  будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые ${\displaystyle \varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$  и ${\displaystyle \varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }$  называются гомотопными, если существует кривая ${\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }$ , зависящая от параметра ${\displaystyle q}$  таким образом, что ${\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi _{0}}$  и ${\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi _{1}}$ .

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость^[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: ${\displaystyle z=\infty }$ . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• ${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}$ 
• ${\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}$ 

${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек ${\displaystyle z}$ , модуль которых больше, чем ${\displaystyle \varepsilon }$ , то есть внешняя часть ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностей начала координат.

• Словарь терминов общей топологии

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.