Компактное пространство

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие.^[1] Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

• Замкнутые ограниченные множества в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Конечные подмножества топологических пространств.
• Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство ${\displaystyle C(X)}$  вещественных функций на метрическом компактном пространстве ${\displaystyle X}$  с нормой ${\displaystyle \|f\|=\sup _{x}|f(x)|}$ . Тогда замыкание множества функций ${\displaystyle F}$  в ${\displaystyle C(X)}$  компактно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle F}$  равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
• Пространство Стоуна булевых алгебр.
• Компактификация топологического пространства.

• Подмножество топологического пространства, являющееся в индуцированной топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
• Множество называется относительно компактным, если его замыкание компактно.
• Множество называется предкомпактным, если его пополнение компактно.
• Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
• Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
• Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
• Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограниченна.
• Счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
• Слабо счётно компактное пространство  — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
• H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве.^[2][3]

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства^[4]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

• Свойства, равносильные компактности:
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение^[5].
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
  • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
  • Топологическое пространство ${\displaystyle X}$  компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в ${\displaystyle X}$  .
• Другие общие свойства:
  • Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт.
  • Теорема Вейерштрасса. Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений.
  • Замкнутое подмножество компакта компактно.
  • Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда оно регулярно и H-замкнуто.^[2][3]
  • Хаусдорфово пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое подмножество H-замкнуто.^[2][3]
  • Теорема Тихонова: произведение произвольного (необязательно конечного) множества компактных множеств (с топологией произведения) компактно.
  • Любое непрерывное взаимно однозначное отображение компакта в хаусдорфово пространство является гомеоморфизмом.
  • Компактные множества «ведут себя как точки»^[6]. Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающиеся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями, в регулярном пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества обладают непересекающимися окрестностями, в тихоновском пространстве любые непересекающиеся компактное и замкнутое множества функционально отделимы.

• Свойства компактных метрических пространств:
  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
  • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
  • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля^[7].
  • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия ${\displaystyle \{V_{\alpha }\},\ \alpha \in A}$  существует положительное число ${\displaystyle r}$  такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше ${\displaystyle r}$ , содержится в одном из множеств ${\displaystyle V_{\alpha }}$ . Такое число ${\displaystyle r}$  называется числом Лебега.

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев. Задачный учебник по топологии
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
• Л. Шварц, Анализ, т. I, М., Мир, 1972.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Архангельский А.В. Бикомпактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.
• Войцеховский М. И. Компактное пространство // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.