Ковариантная производная

Разделы:

Ковариантная производная — обобщение понятия производной для тензорных полей на многообразиях.Понятие ковариантной производной тесно связано с понятием аффинной связности.

Ковариантная производная тензорного поля T{displaystyle T} $T$ в направлении касательного вектора v{displaystyle {mathbf {v} }} ${{mathbf v}}$ обычно обозначается ∇vT{displaystyle nabla _{mathbf {v} }T} $nabla _{{{mathbf v}}}T$ .

Содержание

1 Формальное определение
2 Выражение в координатах
- 2.1 Примеры для некоторых типов тензорных полей
3 См. также
4 Литература

Формальное определение

Скалярные функции

Для скалярной функции f{displaystyle f}

$f$ ковариантная производная ∇vf{displaystyle {nabla }_{mathbf {v} }f} ${nabla }_{{{mathbf {v}}}}f$ совпадает с обычной производной функции по направлению векторного поля v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ .

Векторные поля

Ковариантная производная ∇{displaystyle nabla }

$nabla$ векторного поля u{displaystyle {mathbf {u} }} ${{mathbf u}}$ по направлению векторного поля v{displaystyle {mathbf {v} }} ${{mathbf v}}$ , обозначаемая ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} $nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}$ определяется по следующим свойствам, для любого вектора v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ , векторных полей u{displaystyle mathbf {u} } $mathbf {u}$ , w{displaystyle mathbf {w} } $mathbf {w}$ и скалярных функций f{displaystyle f} $f$ и g{displaystyle g} $g$ :

∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} $nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}$ линейно по отношению к v{displaystyle {mathbf {v} }} ${{mathbf v}}$ , то есть ∇fv+gwu=f∇vu+g∇wu{displaystyle nabla _{f{mathbf {v} }+g{mathbf {w} }}{mathbf {u} }=fnabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+gnabla _{mathbf {w} }{mathbf {u} }} $nabla _{{f{{mathbf v}}+g{{mathbf w}}}}{{mathbf u}}=fnabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}+gnabla _{{{mathbf w}}}{{mathbf u}}$
∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} $nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}$ аддитивно относительно u{displaystyle {mathbf {u} }} ${{mathbf u}}$ , то есть ∇v(u+w)=∇vu+∇vw{displaystyle nabla _{mathbf {v} }({mathbf {u} }+{mathbf {w} })=nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+nabla _{mathbf {v} }{mathbf {w} }} $nabla _{{{mathbf v}}}({{mathbf u}}+{{mathbf w}})=nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}+nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf w}}$
∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }} $nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}$ подчиняется правилу произведения, то есть ∇vfu=f∇vu+u∇vf{displaystyle nabla _{mathbf {v} }f{mathbf {u} }=fnabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }+{mathbf {u} }nabla _{mathbf {v} }f} $nabla _{{{mathbf v}}}f{{mathbf u}}=fnabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}+{{mathbf u}}nabla _{{{mathbf v}}}f$ , где ∇vf{displaystyle nabla _{mathbf {v} }f} $nabla _{{{mathbf v}}}f$ определено выше.

Замечание

Заметим, что ∇vu{displaystyle nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }}

$nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}$ в точке p{displaystyle p} $p$ зависит только от значения v{displaystyle mathbf {v} } $mathbf{v}$ в точке p{displaystyle p} $p$ и от значений u{displaystyle mathbf {u} } $mathbf {u}$ в ее окрестности.В частности, оператор ковариантной производной не является тензором (несмотря на то, что его значение
на каждом тензорном поле тензором является).

Ковекторные поля

Если задано поле ковекторов (т. е. один раз ковариантных тензоров, называемых также 1-формами) α{displaystyle alpha }

$alpha$ , его ковариантная производная ∇vα{displaystyle nabla _{mathbf {v} }alpha } $nabla _{{{mathbf v}}}alpha$ может быть определена используя следующее тождество, которое удовлетворяется для всех векторных полей u{displaystyle mathbf {u} } $mathbf {u}$

∇v(α(u))=(∇vα)(u)+α(∇vu).{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(alpha ({mathbf {u} }))=(nabla _{mathbf {v} }alpha )({mathbf {u} })+alpha (nabla _{mathbf {v} }{mathbf {u} }).}

nabla _{{{mathbf v}}}(alpha ({{mathbf u}}))=(nabla _{{{mathbf v}}}alpha )({{mathbf u}})+alpha (nabla _{{{mathbf v}}}{{mathbf u}}).

Ковариантная производная ковекторного поля вдоль векторного поля v{displaystyle mathbf {v} }

$mathbf{v}$ — тоже ковекторное поле.

Возможно также самостоятельное определение ковариантной производной ковекторного поля, не связанное с производной векторных полей. Тогда в общем случае производные скаляров зависят от их происхождения, и говорят о неметричности аффинной связности, связанной с данной ковариантной производной. При данном выше определении неметричность равна нулю.

Тензорные поля

Как только ковариантная производная определена для векторных и ковекторных полей, ее легко обобщить на произвольные тензорные поля при помощи правила Лейбница (φ{displaystyle varphi }

$varphi$ и ψ{displaystyle {psi }} ${psi }$ — произвольные тензоры):

∇v(φ⊗ψ)=(∇vφ)⊗ψ+φ⊗(∇vψ),{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi otimes psi )=(nabla _{mathbf {v} }varphi )otimes psi +varphi otimes (nabla _{mathbf {v} }psi ),}

nabla _{{{mathbf v}}}(varphi otimes psi )=(nabla _{{{mathbf v}}}varphi )otimes psi +varphi otimes (nabla _{{{mathbf v}}}psi ),

Если φ{displaystyle varphi }

$varphi$ и ψ{displaystyle psi } $psi$ — тензорные поля из одного и того же тензорного расслоения, их можно сложить:

∇v(φ+ψ)=∇vφ+∇vψ.{displaystyle nabla _{mathbf {v} }(varphi +psi )=nabla _{mathbf {v} }varphi +nabla _{mathbf {v} }psi .}

nabla _{{{mathbf v}}}(varphi +psi )=nabla _{{{mathbf v}}}varphi +nabla _{{{mathbf v}}}psi .

Выражение в координатах

Пусть тензорное поле типа (p,q){displaystyle (p,q)}

$(p,q)$ задано своими компонентами Ti1i2…ipj1j2…jq(x){displaystyle {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}(mathbf {x} )} ${T^{{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}}_{{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}}({mathbf {x}})$ в некоторой локальной системе координат xk{displaystyle x^{k}} $x^{k}$ , причем компоненты — дифференцируемые функции. Тогда ковариантная производна
я тензорного поля представляет собой тензор типа (p,q+1){displaystyle (p,q+1)} $(p,q+1)$ , который определяется по формуле:

∇ℓTi1i2…ipj1j2…jq=∂Ti1i2…ipj1j2…jq∂xℓ+∑k=1pTi1…ik…ipj1j2…jqΓikℓk−∑m=1qTi1i2…ipj1…jm…jqΓmℓjm{displaystyle nabla _{ell }{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}={frac {partial {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}}{partial x^{ell }}}+sum _{k=1}^{p}{T^{i_{1}ldots i_{k}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}Gamma ^{i_{k}}{}_{ell k}-sum _{m=1}^{q}{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}ldots j_{m}ldots j_{q}}Gamma ^{m}{}_{ell j_{m}}}

${displaystyle nabla _{ell }{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}={frac {partial {T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}}{partial x^{ell }}}+sum _{k=1}^{p}{T^{i_{1}ldots i_{k}ldots i_{p}}}_{j_{1}j_{2}ldots j_{q}}Gamma ^{i_{k}}{}_{ell k}-sum _{m=1}^{q}{T^{i_{1}i_{2}ldots i_{p}}}_{j_{1}ldots j_{m}ldots j_{q}}Gamma ^{m}{}_{ell j_{m}}}$

где Γkij{displaystyle Gamma ^{k}{}_{ij}}

$Gamma ^{{k}}{}_{{ij}}$ — символы Кристоффеля, выражающие связность искривленного многообразия.

Примеры для некоторых типов тензорных полей

Ковариантная производная векторного поля Vm {displaystyle V^{m} }

$V^{m}$ имеет по сравнению с частной производной дополнительное слагаемое,

∇ℓVm=∂Vm∂xℓ+ΓmkℓVk. {displaystyle nabla _{ell }V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{m}{}_{kell }V^{k}. }

nabla _{ell }V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{m}{}_{{kell }}V^{k}.

Ковариантная производная скалярного поля φ {displaystyle varphi }

$varphi$ совпадает с частной производной,

∇iφ=∂φ∂xi {displaystyle nabla _{i}varphi ={frac {partial varphi }{partial x^{i}}} }

nabla _{i}varphi ={frac {partial varphi }{partial x^{i}}}

а ковариантная производная ковекторного поля ωm {displaystyle omega _{m} }

$omega _{m}$ —

∇ℓωm=∂ωm∂xℓ−Γkℓmωk. {displaystyle nabla _{ell }omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{ell }}}-Gamma ^{k}{}_{ell m}omega _{k}. }

nabla _{ell }omega _{m}={frac {partial omega _{m}}{partial x^{ell }}}-Gamma ^{k}{}_{{ell m}}omega _{k}.

В пространстве без кручения символы Кристоффеля симметричны, и ковариантные производные скалярного поля коммутируют:

∇i∇jφ=∇j∇iφ {displaystyle nabla _{i}nabla _{j}varphi =nabla _{j}nabla _{i}varphi }

nabla _{i}nabla _{j}varphi =nabla _{j}nabla _{i}varphi

В общем случае ковариантные производные тензоров не коммутируют (см. тензор кривизны).

Ковариантная производная тензорного поля типа (2,0){displaystyle (2,0)}

$(2,0)$ Aik {displaystyle A^{ik} } $A^{{ik}}$ равна

∇ℓAik=∂Aik∂xℓ+ΓimℓAmk+ΓkmℓAim, {displaystyle nabla _{ell }A^{ik}={frac {partial A^{ik}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{i}{}_{mell }A^{mk}+Gamma ^{k}{}_{mell }A^{im}, }

nabla _{ell }A^{{ik}}={frac {partial A^{{ik}}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{i}{}_{{mell }}A^{{mk}}+Gamma ^{k}{}_{{mell }}A^{{im}},

то есть

Aik;ℓ=Aik,ℓ+AmkΓimℓ+AimΓkmℓ. {displaystyle A^{ik}{}_{;ell }=A^{ik}{}_{,ell }+A^{mk}Gamma ^{i}{}_{mell }+A^{im}Gamma ^{k}{}_{mell }. } $A^{{ik}}{}_{{;ell }}=A^{{ik}}{}_{{,ell }}+A^{{mk}}Gamma ^{i}{}_{{mell }}+A^{{im}}Gamma ^{k}{}_{{mell }}.$

Для тензорного поля с одним верхним, одним нижним индексом ковариантная производная равна

Aik;ℓ=Aik,ℓ+AmkΓimℓ−AimΓmkℓ, {displaystyle A^{i}{}_{k;ell }=A^{i}{}_{k,ell }+A^{m}{}_{k}Gamma ^{i}{}_{mell }-A^{i}{}_{m}Gamma ^{m}{}_{kell }, }

A^{i}{}_{{k;ell }}=A^{i}{}_{{k,ell }}+A^{{m}}{}_{k}Gamma ^{i}{}_{{mell }}-A^{i}{}_{m}Gamma ^{m}{}_{{kell }},

наконец, для дважды ковариантного тензорного поля, то есть поля типа (0,2){displaystyle (0,2)}

$(0,2)$ ,

Aik;ℓ=Aik,ℓ−AmkΓmiℓ−AimΓmkℓ. {displaystyle A_{ik;ell }=A_{ik,ell }-A_{mk}Gamma ^{m}{}_{iell }-A_{im}Gamma ^{m}{}_{kell }. }

A_{{ik;ell }}=A_{{ik,ell }}-A_{{mk}}Gamma ^{m}{}_{{iell }}-A_{{im}}Gamma ^{m}{}_{{kell }}.

См. также

Литература

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.