Квадратная матрица

Элементы a_ii (i = 1, ..., n) образуют главную диагональ квадратной матрицы. Эти элементы лежат на воображаемой прямой, проходящей из левого верхнего угла в правый нижний угол матрицы. Например, главная диагональ 4х4 матрицы на рисунке содержит элементы a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Диагональ квадратной матрицы, проходящая через нижний левый и верхний правый углы называется побочной.

Название	Пример с n = 3
Диагональная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Нижняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$
Верхняя треугольная матрица	${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}}$

Диагональные и треугольные матрицы

Если все элементы вне главной диагонали нулевые, A называется диагональной. Если все элементы над (под) главной диагональю нулевые, A называется нижней (верхней) треугольной матрицей.

Единичная матрица

Единичная матрица E_n размера n — это n×n матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0, т.е.

${\displaystyle E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$ 

Умножение на единичную матрицу оставляет матрицу неизменной:

Шаблон:Nowrap beginAE_n = E_nA = AШаблон:Nowrap end для любой n×n матрицы A.

Симметричные и кососимметричные матрицы

Квадратная матрица A, совпадающая со своей транспонированной, т.е., A = A^T, называется симметричной. Если же, A равна минус транспонированной, т.е., A = −A^T, A называется кососимметричной. В случае комплексных матриц симметрия часто заменяется понятием самосопряжённости, и в этом случае требуется, чтобы выполнялось A^∗ = A, где звёздочка означает сопряжено-транспонированную матрицу, т.е транспонированную сопряжённой к A.

По спектральной теореме для вещественных симметричных матриц и комплексных Эрмитовых матриц существуют базисы, состоящие из собственных векторов. То есть, любой вектор пространства можно представить в виде линейной комбинации собственных векторов. В обоих случаях все собственные значения вещественны.^[1] Эту теорему можно распространить на бесконечномерный случай, когда матрицы имеют бесконечно много строк и столбцов.

Обратимые матрицы

Квадратная матрица A называется обратимой или невырожденной, если существует матрица B, такая что

AB = BA = E.^[2][3]

Если матрица B существует, она единственна и называется обратной к A и записывается как A⁻¹.

Определённая матрица

Симметричная n×n матрица называется положительно определённой (соответсвенно, отрицательно определённой или неопределённой), если для всех ненулевых векторов x ∈ Rⁿ соответствующая квадратичная форма

Q(x) = x^TAx

принимает только положительные значения (соответственно, отрицательные значения или и те и другие).^[4] Если квадратичная форма принимает только неотрицательные (соответственно, только неположительные) значения, симметричная матрица называется положительно полуопределённой (соответственно, отрицательно полуопределённой). Матрица будет неопределённой, если она ни положительно, ни отрицательно полуопределена.

Симметричная матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны.^[5] Таблица справа показывает два возможных случая для матриц 2×2.

Если использовать два различных вектора, получим билинейную форму, связанную с A:

B_A (x, y) = x^TAy.^[6]

Ортогональная матрица

Ортогональная матрица — это квадратная матрица с вещественными элементами, столбцы и строки которой являются ортогональными единичными векторами (т.е., ортонормальными). Можно также определить ортогональную матрицу как матрицу, обратная которой равна транспонированной:

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1},\,}$ 

откуда вытекает

${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}=E}$ ,

где E — единичная матрица.

Ортогональная матрица A всегда обратима (A⁻¹ = A^T), унитарна (A⁻¹ = A*), и нормальна (A*A = AA*). Определитель любой ортонормальной матрицы равен либо +1, либо −1. В качестве линейного отображения любая ортонормальная матрица с определителем +1 является простым поворотом, в то время как любая любая ортонормальная матрица с определителем −1 является либо простым отражением, либо композицией отражения и поворота.

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

След

Следом квадратной матрицы A (tr(A)) называется сумма диагональных элементов. В то время как умножение матриц, вообще говоря, не коммутативно, след произведения двух матриц не зависит от порядка сомножителей:

tr(AB) = tr(BA).

Это непосредственно вытекает из определения произведения матриц:

${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).}$ 

Также, след матрицы равен следу транспонированной к ней, т.е.,

tr(A) = tr(A^T).

Определитель

Определитель det(A) или |A| квадратной матрицы A — это число, определяющее некоторые свойства матрицы. Матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель ненулевой. Абсолютная величина определителя равна площади (в R²) или объёму (в R³) образа единичного квадрата (или куба), в то время как знак определителя соответствует ориентации соответсвующего отображения — определитель положителен в том и только в том случае, когда ориентация сохраняется.

Определитель 2×2 матриц вычисляется по формуле

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}$ 

Определитель матриц 3×3 использует 6 произведений (правило Сарруса). Более длинная формула Лейбница^?! обобщает эти две формулы на все размерности.^[7]

Определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей:

det(AB) = det(A) • det(B).^[8]

Добавление любой строки с коэффициентом к другой строке, или любого столбца с коэффициентом к другому столбцу не изменяет определителя. Обмен местами двух строк или столбцов приводит к изменению знака определитея.^[9] Используя эти операции любую матрицу можно привести к нижней (или верхней) треугольной матрице, а для таких матриц определитель равен произведению элементов главной диагонали, что даёт способ вычисления определителя любой матрицы. Наконец, теорема Лапласа выражает определитель в терминах миноров, т.е., определителей меньших матриц.^[10] Эта теорема даёт возможность рекурсивного вычисления определителей (начав с определителя матрицы 1×1, или даже с определителя матрицы 0×0, который равен 1), что можно рассматривать как эквивалент формуле Лейбница. Определители можно использовать для решения линейных систем с помощью метода Крамера.^[11]

Собственные значения и собственные вектора

Число λ и ненулевой вектор v, удовлетворяющие уравнению

Av = λv

называются собственным значением и собственным вектором матрицы A соответственно.^[12] Число λ является собственным числом n×n матрицы A в том и только в том случае, когда A−λE не имеет обратной, что эквивалентно

${\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {E}})=0.\ }$ ^[13]

Многочлен p_A от неизвестного^[en] X, получаемый как определитель det(XE−A) называется характеристическим многочленом матрицы A. Это нормированный многочлен^[en]* степени n. Таким образом, уравнение p_A(λ) = 0 имеет максимум n различных решений, т.е., собственных значений матрицы.^[14] Эти значения могут быть комплексными, даже если все элементы матрицы A вещественны. Согласно теореме Гамильтона — Кэли, p_A(A) = 0, то есть при подстановке самой матрицы в характеристический многочлен получим нулевую матрицу.

• Р. Хорн, Ч. Джонсон. Матричный анализ. — Мир, 1989. — ISBN 5-03-001042-4.
• William C. Brown. Matrices and vector spaces. — New York: NY: Marcel Dekker, 1991. — ISBN 978-0-8247-8419-5.
• Leonid Mirsky. An Introduction to Linear Algebra. — Courier Dover Publications, 1990. — ISBN 978-978-0-486-66434-7.