Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой [2].
Квадрат | |
---|---|
![]() Квадрат со стороной и диагональю | |
Рёбра | 4 |
Символ Шлефли | {4} |
Вид симметрии | Диэдрическая группа (D4) |
Площадь | a2 |
Внутренний угол | 90° |
Свойства | |
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура | |
![]() |
Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами[3][4].
Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата, — длину диагонали, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности.
Периметр квадрата равен:
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали
Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:
Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:
Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.
Площадь квадрата равна
Из формулы связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.
Квадрат имеет два замечательных свойства[5].
В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде[6]:
где — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна
Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:
С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.
Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:
Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.
Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.
В математической физике квадрат может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:
Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)[8].
Графы: K4 полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.
3-симплекс (3D) |
Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.
Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.
Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.
Ряд символов имеют форму квадрата.
В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции \Box
или \square
.
В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:
Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.
В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.