Касательный вектор

Касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$  гладкого подмногообразия ${\displaystyle M}$  евклидова пространства — вектор скорости в точке ${\displaystyle p}$  некоторой кривой в ${\displaystyle M}$ .

Иначе говоря, касательный вектор в точке ${\displaystyle p}$  подмногообразия, локально заданного параметрически:

${\displaystyle r:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$  с ${\displaystyle p=r(0)\ }$ 

есть произвольная линейная комбинация частных производных ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}(0)}$ .

Замечания

• Для этого определения касательного вектора достаточно, чтобы подмногообразие было класса гладкости ${\displaystyle C^{1}}$ .
• Согласно теореме Уитни о вложении , любое гладкое n-мерное многообразие допускает вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ . По этому, не нарушая строгость, можно использовать данное определение для любого гладкого многообразия. Разумется при этом придётся доказывать, независимость определения от вложения.

Касательный вектор как класс эквивалентности путей

Понятие касательного вектора к многообразию в точке обобщает понятие касательного вектора к гладкому пути в пространстве Rⁿ. Пусть в Rⁿ задан гладкий путь ${\displaystyle \mathbf {f} :[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ :

${\displaystyle \mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_{n}(t)\mathbf {e} _{n}}$ 

Тогда существует единственный прямолинейный и равномерный путь ${\displaystyle \mathbf {l} (t)}$ , который его касается в момент времени t₀:

${\displaystyle \mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial x_{1}}(t_{0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial x_{2}}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_{n} \over \partial x_{n}}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)}$ 

Касание двух путей означает, что разность ${\displaystyle \mathbf {f} (t)-\mathbf {f'} (t)=o(t-t_{0})}$ ; отношения касания путей в точке есть отношение эквивалентности. Kасательный вектор в точке x₀ можно определить как класс эквивалентности всех гладких путей, проходящих через точку x₀ в один и тот же момент времени, и касающихся друг с другом в этой точке.

Касательный вектор как дифференцирование в точке

Пусть ${\displaystyle M}$  — гладкое многообразие. Рассмотрим пространство операторов ${\displaystyle X}$ , сопоставляющих каждой гладкой функции ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$  число ${\displaystyle Xf}$  и обладающих следующими свойствами:

• аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh,}$ 
• правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).}$ 

Множество всех таких операторов в точке ${\displaystyle p}$  имеет естественную структуру линейного пространства, именно:

${\displaystyle (X+Y)f=Xf+Yf;}$ 

${\displaystyle (k\cdot X)f=k\cdot (Xf).}$ 

Это пространство назовем касательным к многообразию ${\displaystyle M}$  в точке ${\displaystyle p}$  пространством, а его элементы — касательными векторами.