Касательное расслоение гладкого многообразия M{displaystyle M} — есть векторное расслоение над M{displaystyle M}, слой которого в точке x∈M{displaystyle xin M} является касательным пространством TxM{displaystyle T_{x}M} в точке x{displaystyle x}.Касательное расслоение обычно обозначается TM{displaystyle TM}.
Неформально, касательное расслоение многообразия (в данном случае круга) получается при рассмотрении всех касательных пространств (сверху) и объединении их гладко без пересечений (снизу)
Элемент тотального пространства TM{displaystyle TM} — это пара (x,v){displaystyle (x,;v)}, где x∈M{displaystyle xin M} и v∈TxM{displaystyle vin T_{x}M}.Касательное расслоение обладает естественной топологией (не топологией дизъюнктивного объединения) и гладкой структурой, превращающими его в многообразие.Размерность TM{displaystyle TM} равна удвоенной размерности M{displaystyle M}.
Содержание
- 1 Топология и гладкая структура
- 2 Примеры
- 3 Векторные поля
- 4 Каноническое векторное поле на '»`UNIQ—postMath-0000004B-QINU`»‘
- 5 См. также
- 6 Ссылки
Топология и гладкая структура
Если M{displaystyle M}
— n{displaystyle n} -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт (Uα,φα){displaystyle (U_{alpha },;varphi _{alpha })} , где Uα{displaystyle U_{alpha }} — открытое подмножество M{displaystyle M} и
- φα:Uα→Rn{displaystyle varphi _{alpha }colon U_{alpha }to mathbb {R} ^{n}}
— гомеоморфизм.Эти локальные координаты на U{displaystyle U}
порождают изоморфизм между TxM{displaystyle T_{x}M} и Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} для любого x∈U{displaystyle xin U} .Можно определить отображение
- φ~α:π−1(Uα)→R2n{displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }colon pi ^{-1}(U_{alpha })to mathbb {R} ^{2n}}
как
- φ~α(x,vi∂i)=(φα(x),v1,…,vn){displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }(x,;v^{i}partial _{i})=(varphi _{alpha }(x),;v^{1},;ldots ,;v^{n})}
Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на TM{displaystyle TM}
.
Подмножество A{displaystyle A}
из TM{displaystyle TM} отк
рыто тогда и только тогда, когда φ~α(A∩π−1(Uα)){displaystyle {tilde {varphi }}_{alpha }(Acap pi ^{-1}(U_{alpha }))} — открытое в R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} для любого α{displaystyle alpha } . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств TM{displaystyle TM} и R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} , поэтому они образуют карты гладкой структуры на TM{displaystyle TM} . Функции перехода на пересечениях карт π−1(Uα∩Uβ){displaystyle pi ^{-1}(U_{alpha }cap U_{beta })} задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств R2n{displaystyle mathbb {R} ^{2n}} .
Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением.Касательное расслоение n{displaystyle n}
-мерного многообразия M{displaystyle M} можно определить как векторное расслоение ранга n{displaystyle n} над M{displaystyle M} , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.
Примеры
- Простейший пример получается для Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции R2n→Rn{displaystyle mathbb {R} ^{2n}to mathbb {R} ^{n}} .
- Единичная окружность S1{displaystyle S^{1}} . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно S1×R{displaystyle S^{1}times mathbb {R} } . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
- Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере S2{displaystyle S^{2}} это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причесывании ежа.
К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой R{displaystyle R}
и единичной окружности S1{displaystyle S^{1}} , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.
Векторные поля
Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии M{displaystyle M}
, значение которой в каждой точке — касательный к M{displaystyle M} вектор, то есть гладкое отображение
- V:M→TM{displaystyle Vcolon Mto TM}
такое что образ x{displaystyle x}
, обозначаемый Vx{displaystyle V_{x}} , лежит в TxM{displaystyle T_{x}M} , касательном пространстве в точке x{displaystyle x} . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением.Векторное поле на M{displaystyle M} — это сечение касательного расслоения над M{displaystyle M} .
Множество всех векторных полей над M{displaystyle M}
обозначается Γ(TM){displaystyle Gamma (TM)} . Векторные поля можно складывать поточечно
- (V+W)x=Vx+Wx{displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}
и умножать на гладкие функции на M{displaystyle M}
- (fV)x=f(x)Vx{displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}
получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей Γ(TM){displaystyle Gamma (TM)}
получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких
функций на M{displaystyle M} (обозначается C∞(M){displaystyle C^{infty }(M)} ).
Если f{displaystyle f}
есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля X{displaystyle X} даёт новую глядкую функцию Xf{displaystyle Xf} .Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:
- Аддитивность: X(f+h)=Xf+Xh{displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}
- Правило Лейбница: X(fh)=(Xf)⋅h+f⋅(Xh).{displaystyle X(fh)=(Xf)cdot h+fcdot (Xh).}
Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.
Локальное векторное поле на M{displaystyle M}
— это локальная сечение касательного расслоения.Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве U{displaystyle U} из M{displaystyle M} , при этом в каждой точке из U{displaystyle U} задается вектор из соответствующего касательного пространства.Множество локальных векторных полей на M{displaystyle M} образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над M{displaystyle M} .
Каноническое векторное поле на TM{displaystyle TM}
На каждом касательном расслоении TM{displaystyle TM}
можно определить каноническое векторное поле. Если (x,y){displaystyle (x,;y)} — локальные координаты на TM{displaystyle TM} , то векторное поле имеет вид
- V=yi∂∂yi|(x,y).{displaystyle V=left.y^{i}{frac {partial }{partial y^{i}}}right|_{(x,;y)}.}
V{displaystyle V}
является отображением V:TM→TTM{displaystyle Vcolon TMto TTM} .
Существование такого векторного поля на TM{displaystyle TM}
можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.
См. также
- Дифференциал отображения
- Векторное поле
- Вертикальное расслоение
- Горизонтальное расслоение
- Кокасательное расслоение
Ссылки
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
- Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
- John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
- Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
- Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.
