Касательное расслоение

Если ${\displaystyle M}$  — ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие, то оно обладает атласом карт ${\displaystyle (U_{\alpha },\;\varphi _{\alpha })}$ , где ${\displaystyle U_{\alpha }}$  — открытое подмножество ${\displaystyle M}$  и

${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$ 

— гомеоморфизм. Эти локальные координаты на ${\displaystyle U}$  порождают изоморфизм между ${\displaystyle T_{x}M}$  и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  для любого ${\displaystyle x\in U}$ . Можно определить отображение

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }\colon \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to \mathbb {R} ^{2n}}$ 

как

${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(x,\;v^{i}\partial _{i})=(\varphi _{\alpha }(x),\;v^{1},\;\ldots ,\;v^{n})}$ 

Эти отображения используются для определения топологии и гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$ .

Подмножество ${\displaystyle A}$  из ${\displaystyle TM}$  открыто тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{\alpha }(A\cap \pi ^{-1}(U_{\alpha }))}$  — открытое в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$  для любого ${\displaystyle \alpha }$ . Эти отображения — гомеоморфизмы открытых подмножеств ${\displaystyle TM}$  и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ , поэтому они образуют карты гладкой структуры на ${\displaystyle TM}$ . Функции перехода на пересечениях карт ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$  задаются матрицами Якоби соответствующих преобразований координат, поэтому они являются гладкими отображениями открытых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ .

Касательное расслоение — частный случай более общей конструкции, называемой векторным расслоением. Касательное расслоение ${\displaystyle n}$ -мерного многообразия ${\displaystyle M}$  можно определить как векторное расслоение ранга ${\displaystyle n}$  над ${\displaystyle M}$ , функции перехода для которого задаются якобианом соответствующих преобразований координат.

• Простейший пример получается для ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . В этом случае касательное расслоение тривиально и изоморфно проекции ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ .
• Единичная окружность ${\displaystyle S^{1}}$ . Её касательное расслоение также тривиально и изоморфно ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$ . Геометрически, оно является цилиндром бесконечной высоты (см. картинку вверху).
• Простой пример нетривиального касательного расслоения получается на единичной сфере ${\displaystyle S^{2}}$  это касательное расслоение нетривиально вследствие теоремы о причесывании ежа.

К несчастью, изобразить можно только касательные расслоения действительной прямой ${\displaystyle R}$  и единичной окружности ${\displaystyle S^{1}}$ , которые оба являются тривиальными. Для двумерных многообразий касательное расслоение — это 4-хмерное многообразие, поэтому его сложно представить.

Векторное поле — это гладкая векторная функция на многообразии ${\displaystyle M}$ , значение которой в каждой точке — касательный к ${\displaystyle M}$  вектор, то есть гладкое отображение

${\displaystyle V\colon M\to TM}$ 

такое что образ ${\displaystyle x}$ , обозначаемый ${\displaystyle V_{x}}$ , лежит в ${\displaystyle T_{x}M}$ , касательном пространстве в точке ${\displaystyle x}$ . На языке локально тривиальных расслоений, такое отображение называется сечением. Векторное поле на ${\displaystyle M}$  — это сечение касательного расслоения над ${\displaystyle M}$ .

Множество всех векторных полей над ${\displaystyle M}$  обозначается ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ . Векторные поля можно складывать поточечно

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$ 

и умножать на гладкие функции на ${\displaystyle M}$ 

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$ 

получая новые векторные поля. Множество всех векторных полей ${\displaystyle \Gamma (TM)}$  получает при этом структуру модуля над коммутативной алгеброй гладких функций на ${\displaystyle M}$  (обозначается ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ).

Если ${\displaystyle f}$  есть гладкая функция, то операция дифференцирования вдоль векторного поля ${\displaystyle X}$  даёт новую глядкую функцию ${\displaystyle Xf}$ . Этот оператор дифференцирования обладает следующими свойствами:

• Аддитивность: ${\displaystyle X(f+h)=Xf+Xh}$ 
• Правило Лейбница: ${\displaystyle X(fh)=(Xf)\cdot h+f\cdot (Xh).}$ 

Векторное поле на многообразии можно также определить как оператор обладающий вышеперечисленными свойствами.

Локальное векторное поле на ${\displaystyle M}$  — это локальная сечение касательного расслоения. Локальное векторное поле определяется только на каком-то открытом подмножестве ${\displaystyle U}$  из ${\displaystyle M}$ , при этом в каждой точке из ${\displaystyle U}$  задается вектор из соответствующего касательного пространства. Множество локальных векторных полей на ${\displaystyle M}$  образует структуру, называемую пучком вещественных векторных пространств над ${\displaystyle M}$ .

На каждом касательном расслоении ${\displaystyle TM}$  можно определить каноническое векторное поле. Если ${\displaystyle (x,\;y)}$  — локальные координаты на ${\displaystyle TM}$ , то векторное поле имеет вид

${\displaystyle V=\left.y^{i}{\frac {\partial }{\partial y^{i}}}\right|_{(x,\;y)}.}$ 

${\displaystyle V}$  является отображением ${\displaystyle V\colon TM\to TTM}$ .

Существование такого векторного поля на ${\displaystyle TM}$  можно сравнить с существованием канонической 1-формы на кокасательном расслоении.

• Дифференциал отображения
• Векторное поле
• Вертикальное расслоение
• Горизонтальное расслоение
• Кокасательное расслоение

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. — New York: Springer-Verlag, 2003. — ISBN 0-387-95495-3.
• Jurgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. — Berlin: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 3-540-42627-2.
• Todd Rowland. Tangent Bundle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Tangent Bundle (англ.) на сайте PlanetMath.